[论文解读] Relative generalized Hamming weights of q-ary Reed-Muller codes

Olav Geil, Stefano Martin|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文利用格罗布纳基理论与足迹界，确定了 $q$-元 Reed-Muller 码的相对广义汉明权重（RGHWs），完整刻画了基于陪集的 ramp 秘密共享方案中的信息泄露。关键贡献在于提出了一种低复杂度算法用于计算 RGHWs，并给出了两变量码的闭式表达式，从而实现了对分布式存储系统中安全性和局部纠错能力的精确量化。

ABSTRACT

Coset constructions of $q$-ary Reed-Muller codes can be used to store secrets on a distributed storage system in such a way that only parties with access to a large part of the system can obtain information while still allowing for local error-correction. In this paper we determine the relative generalized Hamming weights of these codes which can be translated into a detailed description of the information leakage [2, 24, 21, 11].

研究动机与目标

• 刻画基于 $q$-元 Reed-Muller 码的 ramp 秘密共享方案中的信息泄露。
• 确定 $q$-元 Reed-Muller 码在两变量及更高维情况下的相对广义汉明权重（RGHWs）。
• 开发一种用于高维情况下计算 RGHWs 的低复杂度算法。
• 为两变量情况下的 RGHWs 提供闭式表达式。
• 建立 Reed-Muller 码的局部可纠正性与分布式存储中信息论安全性的精确关联。

提出的方法

• 使用格罗布纳基理论中的足迹界，而非 Feng-Rao 界，来分析 RGHWs。
• 通过映射 $\mu$ 实施对偶变换，反转部分序与词典序。
• 定义并分析集合 $N_{(a,b)}(m)$ 与 $\nabla N_{(a,b)}(m)$，以计算 RGHWs。
• 利用双射变换 $\mu$ 将 $\nabla N_{(a,b)}(m)$ 与 $\Delta L_{(a,b)}(m)$ 关联，借助引理 A.1 实现边界估计。
• 在第 5 节中开发了一般性算法，通过序理想与足迹估计高效计算任意 RGHW。
• 通过理论证明与实例验证结果，包括第 6 节中对两变量情况的详细分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在两变量情况下，$q$-元 Reed-Muller 码的相对广义汉明权重的确切值是什么？
• RQ2 如何在高维情况下高效计算 $q$-元 Reed-Muller 码的 RGHWs？
• RQ3 在基于陪集的密文共享方案中，局部可纠正性与信息泄露之间存在何种精确关系？
• RQ4 RGHWs 如何量化此类方案中未经授权方所泄露的信息量？
• RQ5 能否为两变量情况下 $q$-元 Reed-Muller 码的 RGHWs 推导出闭式表达式？

主要发现

• 本文推导出 $q$-元 Reed-Muller 码在两变量情况下的相对广义汉明权重的闭式表达式。
• 提出了一种低复杂度算法，可高效计算 $s$ 变量下 $q$-元 Reed-Muller 码的任意相对广义汉明权重。
• 证明了足迹界与变换 $\mu$ 是计算 RGHWs 的有效工具，且无需依赖 Feng-Rao 界。
• RGHWs 完全刻画了基于陪集的 ramp 秘密共享方案中使用 $q$-元 Reed-Muller 码时的信息泄露。
• 结果表明，$q$-元 Reed-Muller 码在陪集构造中保持局部可纠正性，支持分布式存储系统的鲁棒性。
• 分析揭示，安全级别与修复效率与 RGHWs 密切关联，后者同时量化了信息泄露与恢复阈值。