[论文解读] Relative vanishing theorems for $\mathbf{Q}$-schemes

Takumi Murayama|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 67被引用 4

一句话总结

该论文在相等特征零下，利用泽鲁斯基-雷曼空间和格罗滕迪克极限定理，建立了$$\mathbf{Q}$$-概形及其相关解析空间的相对消去定理与单射定理。通过证明具有对偶复形的优秀概形上正规态射的川本–维赫格消去定理与科拉尔单射定理，解决了布托与川垣长期悬而未决的猜想。

ABSTRACT

We prove the relative Grauert-Riemenschneider vanishing, Kawamata-Viehweg vanishing, and Kollár injectivity theorems for proper morphisms of schemes of equal characteristic zero, solving conjectures of Boutot and Kawakita. Our proof uses the Grothendieck limit theorem for sheaf cohomology and Zariski-Riemann spaces. We also show these vanishing and injectivity theorems hold for locally Moishezon (resp. projective) morphisms of quasi-excellent algebraic spaces admitting dualizing complexes and semianalytic germs of complex analytic spaces (resp. quasi-excellent formal schemes admitting dualizing complexes, rigid analytic spaces, Berkovich spaces, and adic spaces locally of weakly finite type over a field), all in equal characteristic zero. We give many applications of our vanishing results. For example, we extend Boutot's theorem to all Noetherian $\mathbf{Q}$-algebras by showing that if $R o R'$ is a cyclically pure map of $\mathbf{Q}$-algebras and $R'$ is pseudo-rational, then $R$ is pseudo-rational. This solves a conjecture of Boutot and affirmatively answers a question of Schoutens. The proof of this Boutot-type result uses a new characterization of pseudo-rationality and rational singularities using Zariski-Riemann spaces. This characterization is also used in the proofs of our vanishing and injectivity theorems and is of independent interest.

研究动机与目标

• 将经典的消去定理（如川本–维赫格定理与科拉尔单射定理）推广至诺特$$\mathbf{Q}$$-概形的正则态射及更广泛的解析范畴。
• 解决布托与川垣关于在相等特征零下，相对消去定理在光滑或射影概形之外是否成立的猜想。
• 通过泽鲁斯基–雷曼空间，建立一种不依赖奇异点解析的有理奇点与拟有理性的新刻画。
• 将这些结果推广至局部莫伊舍松代数空间、形式概形、紧致与伯克霍夫空间，以及复解析芽，所有情形均在相等特征零下。
• 将消去定理应用于证明关于有理奇点、完备局部UFD的Gorenstein性质，以及在循环纯映射下拟有理性的新结果。

提出的方法

• 利用格罗滕迪克极限定理分析概形逆系上层上同调群的极限，研究层上同调。
• 将泽鲁斯基–雷曼空间作为工具，通过解析极限刻画有理奇点与拟有理性。
• 应用优秀概形上对偶复形的理论，定义相对情形下的典范层与邻接关系。
• 通过陈-引理与各种几何范畴（代数空间、解析芽、紧致、伯克霍夫、阿迪克空间）中的对数解析，将一般情形约化至射影情形。
• 为klt对构造相对对数解析$$\tilde{X}\to X$$，并利用投影公式将消去性从$$\tilde{X}$$转移到$$X$$。
• 利用Leray谱序列将$$f_*$$的上同调与$$f\circ\pi\circ\mu_*$$的上同调联系起来，借助解析上的消去性推导出原概形上的消去性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有对偶复形的诺特$$\mathbf{Q}$$-概形的正则态射，川本–维赫格消去定理是否成立？
• RQ2 科拉尔的单射定理能否推广至相等特征零下一般优秀概形上的klt对？
• RQ3 是否存在一种不依赖奇异点解析、而使用泽鲁斯基–雷曼空间的有理奇点与拟有理性的刻画？
• RQ4 相对消去定理是否可推广至非阿基米德与复解析情形，如紧致、伯克霍夫或形式概形？
• RQ5 如布托与舒坦森所猜想，循环纯满射是否保持$$\mathbf{Q}$$-代数的拟有理性？

主要发现

• 对于具有对偶复形的诺特$$\mathbf{Q}$$-概形的正则最大支配态射，在klt或简单交叉正常交条件下，相对川本–维赫格消去定理成立。
• 科拉尔的单射定理推广至相等特征零下优秀概形上的klt对，且当$$f$$-半正则时，$$R^if_*\mathcal{O}_X(N) \to R^if_*\mathcal{O}_X(N+D)$$是单射。
• 通过泽鲁斯基–雷曼空间上的极限，建立了一种不依赖奇异点解析的有理奇点与拟有理性的新刻画。
• 消去定理被推广至局部莫伊舍松代数空间、准优秀形式概形，以及复解析空间的半解析芽。
• 论文证明：若$$R \to R'$$是$$\mathbf{Q}$$-代数的循环纯映射，且$$R'$$是拟有理的，则$$R$$是拟有理的，从而证实了布托的猜想与舒坦森的问题。
• 在对对偶复形施加温和假设下，将结果应用于证明：维数$$\leq 4$$、剩余域为$$\mathbb{C}$$的完备局部UFD是Gorenstein的。