[论文解读] Relative volume comparison of Ricci Flow and its applications

Gang Tian, Zhenlei Zhang|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用 20

一句话总结

本文建立了一类 Ricci 流的相对体积比较估计，该估计推广了 Perelman 的无局部坍塌定理，无需初始非坍塌假设。利用该估计，证明了在极小 Kähler 流形（Kodaira 维数为一）上 Kähler-Ricci 流的 Gromov-Hausdorff 收敛性，收敛至广义 Kähler-Einstein 度量空间，从而证实了分析极小模型程序中的一个关键猜想。

ABSTRACT

In this paper, we derive a relative volume comparison estimate along Ricci flow and apply it to studying the Gromov-Hausdorff convergence of Kähler-Ricci flow on a minimal manifold. This new estimate generalizes Perelman's no local collapsing estimate and can be regarded as an analogue of the Bishop-Gromov volume comparison for Ricci flow.

研究动机与目标

• 开发一种不依赖初始非坍塌条件的 Ricci 流相对体积比较估计，推广 Perelman 的无局部坍塌定理。
• 将该估计应用于研究极小 Kähler 流形（具有半正则 canonical 线丛且 Kodaira 维数为正）上 Kähler-Ricci 流的 Gromov-Hausdorff 收敛性。
• 确认分析极小模型程序（AMMP）中关于极小椭圆曲面上 Kähler-Ricci 流收敛至广义 Kähler-Einstein 度量空间的核心猜想。

提出的方法

• 利用局部化的 $χ$-熵与热核估计，推导 Ricci 流上的相对体积比较估计。
• 建立共轭热核的 Li-Yau 型下界，以控制体积增长。
• 利用所得体积比较结果，在曲率与标量曲率假设下，对演化度量的直径进行有界。
• 将该估计应用于极小模型中 Kodaira 维数为一的 Kähler-Ricci 流，特别是具有环形纤维结构的流形。
• 利用广义 Kähler-Einstein 当量 $ω_{GKE}$ 及其诱导的长度度量，定义极限度量空间 $X_{GKE}$。
• 通过证明流度量空间与 $X_{GKE}$ 之间的距离可任意小，从而证明 Gromov-Hausdorff 收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设初始非坍塌的前提下，为 Ricci 流建立相对体积比较估计？
• RQ2 在极小 Kähler 流形（Kodaira 维数为一）上，Kähler-Ricci 流是否在 Gromov-Hausdorff 拓扑下收敛至广义 Kähler-Einstein 度量空间？
• RQ3 在 Ricci 曲率与标量曲率假设下，Kähler-Ricci 流的直径是否一致有界？
• RQ4 广义 Kähler-Einstein 度量空间能否与极小流形的典范模型相等同？
• RQ5 Kähler-Ricci 流是否一致坍塌纤维，并收敛至底流形上的典范度量？

主要发现

• 提出了一类新的 Ricci 流相对体积比较估计，推广了 Perelman 的无局部坍塌定理，且无需初始非坍塌假设。
• 该估计被用于证明极小 Kähler 流形（Kodaira 维数为一）上 Kähler-Ricci 流收敛至广义 Kähler-Einstein 度量空间 $X_{GKE}$ 的 Gromov-Hausdorff 收敛性。
• 通过一致有界 Gromov-Hausdorff 距离证明收敛性：$d_{GH}((\Sigma,d_{GKE}),(X,d_t)) \leq C_6 \cdot (\delta^{1/4} + \delta')$，该值可任意小。
• 该结果证实了分析极小模型程序中关于极小椭圆曲面的核心猜想，解决了长期悬而未决的开放问题。
• 在底流 compact 子集上假设 Ricci 曲率一致有界时，流的直径一致有界，从而可应用体积比较估计。