[论文解读] Riemannian geometry of Kahler-Einstein currents

Jian Song|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用 34

一句话总结

本文证明了在具有平凡奇点的射影Calabi-Yau流形或一般型的典范模型上，其典范Kähler-Einstein当前的正则部分的度量完备化形成一个与原始代数流形同胚的紧致度量长度空间，且具有明确定义的切锥。通过全纯势论、$L^2$-估计以及Cheeger-Colding理论，本文证明了Kähler-Einstein流形收敛于奇异度量空间，从而为代数紧化提供了黎曼几何实现。

ABSTRACT

We study Riemannian geometry of canonical Kahler-Einstein currents on projective Calabi-Yau varieties and canonical models of general type with crepant singularities. We prove that the metric completion of the regular part of such a canonical current is a compact metric length space homeomorphic to the original projective variety, with well-defined tangent cones. We also prove a special degeneration for Kahler-Einstein manifolds of general type as an approach to establish the compactification of the moduli space of Kahler-Einstein manifolds of general type. A number of applications are given for degeneration of Calabi-Yau manifolds and the Kahler-Ricci flow on smooth minimal models of general type.

研究动机与目标

• 理解具有平凡奇点的奇异射影流形上典范Kähler-Einstein当前的黎曼几何。
• 证明此类当前正则部分的度量完备化为与原始流形同胚的紧致度量长度空间。
• 证明一般型Kähler-Einstein流形的特殊退化结果，从而实现其模空间的紧化。
• 将Cheeger-Colding理论及Donaldson-Sun的$C^0$-估计推广至$$-极化与非坍缩情形。
• 探讨退化复Monge-Ampère方程的解析弱解与Gromov-Hausdorff拓扑中度量极限之间的等价性。

提出的方法

• 利用全纯势论控制Kähler-Einstein当前的奇异势函数。
• 应用Hörmander的$L^2$-估计处理$$-方程，以获得度量分量的统一有界性。
• 在解析模型上使用梯度估计与$L^2$-估计，以控制曲率与注入半径。
• 应用Cheeger-Colding理论分析Kähler-Einstein度量序列的Gromov-Hausdorff极限。
• 构造具有对数极点的障碍函数，以处理退化情形下的无界势函数。
• 通过曲率与体积控制，证明点的局部分离性与直径有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有平凡奇点的Calabi-Yau流形上，典范Kähler-Einstein当前正则部分的度量完备化是否形成与原始流形同胚的紧致度量长度空间？
• RQ2 一般型Kähler-Einstein流形序列的Gromov-Hausdorff极限是否可描述为具有对数典范奇点的典范模型同胚的度量空间？
• RQ3 此类度量极限中每一点的切锥是否唯一确定，且同构于代数仿射锥？
• RQ4 $C^0$-估计框架能否从具有统一直径有界性的极化流形推广至$$-极化或实极化Kähler-Einstein度量？
• RQ5 典范极化流形的代数模空间是否与Kähler-Einstein模空间等价，包括其紧化形式？

主要发现

• 在具有平凡奇点的射影Calabi-Yau流形上，典范Kähler-Einstein当前正则部分的度量完备化为与原始流形同胚的紧致度量长度空间。
• 若中心纤维无lc奇点，则极限空间$(X_{∞}, d_{∞})$同胚于射影流形$X_0$；否则同胚于准射影流形$X_0 \setminus S_{lc}$。
• 极限空间中每一点的切锥均明确定义，并对应于局部代数仿射锥。
• Kähler-Einstein当前$φ_0$在$X_0 \setminus S_{lc}$上局部有界，且在$S_{lc}$上趋于$-\infty$；若$X_0$为对数终端，则在$X_t$上具有统一的$L^\infty$有界性。
• 在带标记的Gromov-Hausdorff拓扑下，Kähler-Einstein流形的收敛性产生一个与具有对数典范奇点的典范模型同胚的极限空间。
• 该猜想得到支持：典范极化流形的代数模空间与Kähler-Einstein模空间等价，包括其紧化形式。