[论文解读] Relatively stable bundles over elliptic fibrations

C. Bartocci, U. Bruzzo+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

本文通过使用相对傅里叶- Mukai变换，将阿蒂亚关于椭圆曲线上半稳定向量丛的理论推广到任意基概形上的椭圆纤维丛。证明了该变换保持正相对度数的层的相对（半）稳定性，建立了层的模函子之间的对偶性，并通过模空间与紧化相对雅可比簇之间的同构，几何化实现了相对几何朗兰兹对应。

ABSTRACT

We consider a relative Fourier-Mukai transform defined on elliptic fibrations over an arbitrary normal base scheme. This is used to construct relative Atiyah sheaves and generalize Atiyah's and Tu's results about semistable sheaves over elliptic curves to the case of elliptic fibrations. Moreover we show that this transform preserves relative (semi)stability of sheaves of positive relative degree.

研究动机与目标

• 将椭圆曲线上半稳定向量丛的经典理论推广到任意基概形上的椭圆纤维丛的相对情形。
• 通过相对傅里叶- Mukai变换，在椭圆纤维丛的背景下定义相对阿蒂亚层。
• 证明相对傅里叶- Mukai变换保持正相对度数的层在椭圆纤维丛上的相对（半）稳定性。
• 构造秩为 $ n $、度数为 $-1$ 的相对稳定层的模空间与紧化相对雅可比簇之间的同构。
• 实现两个模函子之间的对偶性：一个参数化通过相对阿蒂亚层的层扩张，另一个参数化具有在截面上支撑的扭子层的层。

提出的方法

• 作者在椭圆纤维丛 $ p: X \to B $ 上使用了推广自阿贝尔概形上牟克（Mukai）构造的相对傅里叶- Mukai变换。
• 通过相对设定下扩展的正合列 $ 0 \to \mathcal{O}_C \to \mathcal{A}_n \to \mathcal{A}_{n-1} \to 0 $，归纳地定义了相对阿蒂亚层 $ \mathcal{A}_i $。
• 将变换应用于正相对度数的层，并通过紧化相对雅可比簇 $ \widehat{X} $ 的性质，证明其与相对（半）稳定性的相容性。
• 通过将相对傅里叶- Mukai变换作为桥梁，构造函子 $ \mathbf{F}^i_X(n,d) $ 与 $ \mathbf{H}^i_{\widehat{X}}(d,-n) $ 之间的同构，从而建立对偶性。
• 通过映射 $ (\varpi^{-1} \circ \iota, \mathbf{S}^0) $ 实现了 $ \widehat{X} \times_B \mathcal{M}(n,d) $ 与 $ X \times_B \mathcal{M}(d,-n) $ 之间的同构，其中 $ \iota $ 是 $ \widehat{X} $ 上的对偶对合。
• 该构造依赖于 $ p $ 的一个截面 $ e $，其诱导出一个相对极化 $ \Theta $，以及一个同构 $ \varpi: X \to \widehat{X} $，将点映射为扭理想层。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿蒂亚关于椭圆曲线上半稳定丛的理论如何推广到任意基概形上的椭圆纤维丛的相对情形？
• RQ2 在椭圆纤维丛上，相对傅里叶- Mukai变换是否保持正相对度数的层的相对（半）稳定性？
• RQ3 秩为 $ n $、度数为 $-1$ 的相对稳定层的模空间能否自然地与秩为 1、无扭的度数为 $ n $ 的层的紧化相对雅可比簇相等同？
• RQ4 通过相对阿蒂亚层参数化的层扩张与通过在截面上支撑的扭子层参数化的层这两个函子之间的精确对偶关系是什么？
• RQ5 相对傅里叶- Mukai变换在相对椭圆情形下如何与几何朗兰兹对应关联？

主要发现

• 相对傅里叶- Mukai变换保持了在任意基概形上的椭圆纤维丛上正相对度数的层的相对（半）稳定性。
• 无扭、秩为 1、度数为 $ n $ 的层的紧化相对雅可比簇 $ \widehat{J}_n $ 自然同构于秩为 $ n $、度数为 $-1$ 的相对稳定层的模空间 $ \mathcal{M}(n,-1) $。
• 相对阿蒂亚层 $ \mathcal{A}_i $ 通过归纳正合列 $ 0 \to \mathcal{O}_C \to \mathcal{A}_n \to \mathcal{A}_{n-1} \to 0 $ 定义，该列在 $ X $ 上的相对设定下被扩展。
• 函子 $ \mathbf{F}^i_X(n,d) $ 与 $ \mathbf{H}^i_{\widehat{X}}(d,-n) $ 通过相对傅里叶- Mukai变换实现同构，从而建立了扩张类与截面上扭层之间的对偶性。
• 同构 $ \widehat{X} \times_B \mathcal{M}(n,d) \cong X \times_B \mathcal{M}(d,-n) $ 通过映射 $ (\varpi^{-1} \circ \iota, \mathbf{S}^0) $ 实现，其中 $ \iota $ 是对偶对合，$ \mathbf{S}^0 $ 在模空间上诱导出对偶性。
• 该结果将劳蒙（Laumon）的几何朗兰兹对应推广至相对椭圆情形，实现了德林费耳德（Drinfeld）框架中算子 $ S $ 与 $ T_p $ 之间的对偶性。