[论文解读] Relatively Uniformly Continuous Semigroups on Vector Lattices

Marko Kandić, Michael Kaplin|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2018

Advanced Banach Space Theory被引用 1

一句话总结

本文通过相对一致拓扑 τru，引入了向量格上的相对一致连续半群，使得能够在非巴拿赫空间和非局部凸空间（如 0 < p < 1 时的 Lp(R)、Lip(R)、UC(R) 和 Cc(R)）中研究强连续半群。研究证明热半群、平移半群和库普曼半群在这些空间上是相对一致连续的，并通过一种新性质 (D) 证明了此类半群的延拓定理，将希尔伯特-约西达理论推广至向量格。

ABSTRACT

In this paper we study continuous semigroups of positive operators on general vector lattices equipped with the relative uniform topology $ au_{ru}$. We introduce the notions of strong continuity with respect to $ au_{ru}$ and relative uniform continuity for semigroups. These notions allow us to study semigroups on non-locally convex spaces such as $L^p(\mathbb{R})$ for $0<p<1$ and non-complete spaces such as $Lip(\mathbb{R})$, $UC(\mathbb{R})$, and $C_c(\mathbb{R})$. We show that the (left) translation semigroup on the real line, the heat semigroup and some Koopman semigroups are relatively uniformly continuous on a variety of spaces.

研究动机与目标

• 将强连续半群理论从巴拿赫空间和局部凸空间扩展至一般向量格。
• 定义并研究向量格上正算子半群在相对一致拓扑 τru 下的强连续性与相对一致连续性。
• 为分析 Lip(R)、UC(R)、Cc(R) 和 0 < p < 1 时的 Lp(R) 等非完备且非局部凸空间上的半群，建立一个理论框架。
• 引入并利用性质 (D) 证明相对一致连续半群的延拓定理。
• 通过其底层半流，刻画 C(R)、Lip(R) 和 UC(R) 上相对一致连续的库普曼半群。

提出的方法

• 利用相对一致收敛序列的网，在阿基米德向量格上引入相对一致拓扑 τru。
• 定义向量格上正算子半群的 τru-强连续性与相对一致连续性。
• 证明相对一致连续性蕴含 τru-强连续性，但反之在一般情况下不成立。
• 为向量格引入性质 (D) —— 一致有界性原理的推广 —— 以实现延拓定理。
• 利用延拓定理，通过 C(R)、Lip(R) 和 UC(R) 上的半流刻画相对一致连续的库普曼半群。
• 将理论应用于具体例子：Lip(RN) 和 UC(RN) 上的热半群，以及 Lp(R) 上的左平移半群。

实验结果

研究问题

• RQ1 强连续半群理论能否被扩展至非巴拿赫和非局部凸向量格，如 0 < p < 1 时的 Lp(R) 和 Cc(R)？
• RQ2 在向量格上，何种条件可保证正算子半群是相对一致连续的？
• RQ3 相对一致连续性与 τru-强连续性之间有何关系？在何种情况下二者不同？
• RQ4 性质 (D) 在将相对一致连续半群从稠密子集延拓时起到什么作用？
• RQ5 如何通过其底层半流刻画 C(R)、Lip(R) 和 UC(R) 上的相对一致连续库普曼半群？

主要发现

• 对所有 N ∈ ℕ，热半群在 Lip(RN) 和 UC(RN) 上是相对一致连续的。
• 对 0 < p < ∞，Lp(R) 上的左平移半群是 τru-强连续的，但不是相对一致连续的。
• 性质 (D) 在重要向量格 C(R)、Lip(R)、UC(R) 和 Cc(R) 上成立，使得相对一致连续半群的延拓定理得以实现。
• 通过性质 (D) 建立了相对一致连续半群的延拓定理，该定理是希尔伯特-约西达型刻画的基础。
• C(R)、Lip(R) 和 UC(R) 上的相对一致连续库普曼半群，可通过满足 |ϕ(h,x)−x| ≤ ε·u(x) 的半流 ϕ 进行刻画，其中 u ∈ X，且对所有 h ∈ [0,δ] 成立，u 依赖于 ε。
• 当 X = Lip(R) 或 UC(R) 时，库普曼半群的相对一致连续性等价于存在 δ > 0，使得对所有 h ∈ [0,δ] 和 x ∈ R，有 |ϕ(h,x)−x| ≤ ε·(1+|x|)。