[论文解读] Remark on a result of Bourgain on poissonian pair correlation

Gerhard Larcher|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2017

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 10被引用 3

一句话总结

该论文证明，对于具有正上密度的一类广泛整数序列 $(a_n)$（例如严格递增序列），序列 $\{a_n\alpha\}$ 对任意无理数 $\alpha$ 均不具有泊松成对相关性。该结果支持一个更强的猜想：当加法能量 $E(A_N) = \Omega(N^3)$ 时，无论 $\alpha$ 取何值，均不存在泊松成对相关性，从而将布罗伊恩（Bourgain）关于几乎所有 $\alpha$ 的负结果推广至所有 $\alpha$。

ABSTRACT

We show for a class of sequences $(a_n)_{n\geq 1}$ of distinct positive integers, that for no $α$ the sequence $(\left\{a_n α ight\})_{n \geq 1}$ does have Poissonian pair correlation. This class contains for example all strictly increasing integer sequences with positive upper density. This result motivates us to state a certain conjecture on Poissonian pair correlation which would be a significantly stronger version of a result of Jean Bourgain.

研究动机与目标

• 研究当加法能量 $E(A_N) = \Omega(N^3)$ 时，序列 $\{a_n\alpha\}$ 缺乏泊松成对相关性的现象是否对所有 $\alpha$ 成立，而不仅限于几乎所有 $\alpha$。
• 将布罗伊恩的结果（即对正测度的 $\alpha$ 集合，相关性非泊松）推广至所有 $\alpha$，在 $a_n$ 具有更强结构条件的前提下。
• 为一个猜想提供证据：$E(A_N) = \Omega(N^3)$ 意味着不存在 $\alpha$ 使得成对相关性为泊松分布。
• 通过巴洛格–塞梅雷迪–高斯定理与弗里曼定理分析具有强线性子结构的序列，推导出成对相关函数的定量下界。
• 证明对于此类序列，成对相关函数 $R_N(s)$ 无法收敛至 $2s$，从而与泊松条件矛盾。

提出的方法

• 利用等价关系 $E(A_N) = \Omega(N^3) \iff \sum_v A_N^2(v) = \Omega(N^3)$，其中 $A_N(v)$ 表示差值 $a_i - a_j = v$ 的计数。
• 应用巴洛格–塞梅雷迪–高斯定理，提取一个大子集 $A_0^{(i)} \subset \{a_n\}_{n \leq N_i}$，满足小加倍性：$|A_0^{(i)} + A_0^{(i)}| \leq C|A_0^{(i)}|$。
• 应用弗里曼定理，证明此类集合包含于大小为 $O(N_i)$ 的 $d$-维等差数列中，从而蕴含线性结构。
• 构造一个仅依赖于通用常数 $c, K$ 的有限集合 $\mathcal{E}$，用于在临界尺度下测试成对相关性。
• 分析成对相关函数 $R_N(s) = \frac{1}{N}\#\{i \neq j : \|x_i - x_j\| \leq s/N\}$，并推导出违反收敛至 $2s$ 的下界。
• 利用不均匀度论证与 dyadic 划分中的区间计数，证明存在某些 $s_1, s_2$ 满足 $R_N(s_2) - R_N(s_1) \geq 4(s_2 - s_1)$，从而与泊松行为矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $E(A_N) = \Omega(N^3)$ 时，是否对所有 $\alpha$（而不仅几乎所有 $\alpha$）均有 $\{a_n\alpha\}$ 缺乏泊松成对相关性？
• RQ2 能否证明正上密度的序列类对所有 $\alpha$ 均缺乏泊松成对相关性？
• RQ3 哪些结构性质（如加法能量、加倍常数）足以阻止泊松成对相关性？
• RQ4 能否推导出 $R_N(s)$ 的定量下界，以反驳泊松极限 $2s$？
• RQ5 是否存在一个仅依赖于结构参数的有限 $s$-值集合，使得 $R_N(s)$ 无法收敛至 $2s$？

主要发现

• 对于任意由不同正整数构成且具有正上密度的序列 $\{a_n\}$，序列 $\{a_n\alpha\}$ 对任意无理数 $\alpha$ 均不具有泊松成对相关性。
• 该结论对所有 $\alpha$ 成立，而不仅限于几乎所有 $\alpha$，从而强化了布罗伊恩早期结果（其结论需排除正测度的例外 $\alpha$）。
• 证明依赖于存在一个大子集 $A_0^{(i)} \subset \{a_n\}_{n \leq N_i}$，满足 $|A_0^{(i)}| \geq cN_i$ 且 $|A_0^{(i)} + A_0^{(i)}| \leq C|A_0^{(i)}|$，通过弗里曼定理可推出其具有线性结构。
• 构造了一个有限集合 $\mathcal{E}$ 的 $s$-值，使得存在 $s_1, s_2 \in \mathcal{E}$ 满足 $R_N(s_2) - R_N(s_1) \geq 4(s_2 - s_1)$，违反了泊松极限 $2(s_2 - s_1)$。
• 由于持续存在的不均匀度，成对相关函数 $R_N(s)$ 无法收敛至 $2s$，其中 $s$ 包括 $s = \frac{2^6}{c}$、$s = 1$，或 $s \in \mathcal{D}$ 或 $\mathcal{E}$。
• 对某些 $s$，推导出下界 $R_N(s) \geq \frac{c^5}{2^{24}K^2}b > 4$，与预期的 $2s$ 极限矛盾，从而证明其不收敛。