[论文解读] Remarks about the existence of conformable derivatives and some consequences

Hristo Kiskinov, Milena Petkova+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 27被引用 7

一句话总结

该论文证明，对于任意 t ≠ a，若函数在 t 的右邻域内 α-可微，则阶数 α ∈ (0,1) 的共形导数在该点处等价于标准的一阶导数。其核心贡献在于：共形导数并未将微分方程理论扩展至经典一阶常微分方程之外，因为除可能在下端点 a 外，其均退化为普通导数。

ABSTRACT

The aim of the present paper is to make some notes to the newly introduced conformable derivative as a type local fractional derivative and to present a surprising result about the relation between the conformable derivatives and the usual integer order derivatives.

研究动机与目标

• 阐明共形导数与经典一阶导数之间的数学关系。
• 研究共形导数是否提供了超越标准微积分的新分析工具。
• 探讨这种等价性对求解含共形导数的初值问题的影响。
• 确定共形导数在建模现实世界现象或稳定性分析中是否具有优势。
• 评估共形导数框架是否引入了新颖的数学结构，或仅是重新表述了现有理论。

提出的方法

• 通过涉及增量 θ 变换的极限，定义点 t > a 处阶数 α ∈ (0,1) 的共形导数。
• 证明若 f 在 t 处可微，则 T^α_a f(t) = (t−a)^{1−α} f'(t)，对所有 t > a 成立。
• 证明 f 在 t ≠ a 处 α-可微当且仅当 f 在经典意义下在 t 处可微。
• 利用此等价性，将含共形导数的初值问题转化为具有弱奇性右端项的经典一阶常微分方程的等价初值问题。
• 证明所得微分方程等价于经典的分析中已充分理解的 Volterra 积分方程。
• 分析共形导数在下端点 a 处的行为，该处的极限定义与内部点不同。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，阶数 α ∈ (0,1) 的共形导数在点 t ≠ a 处等价于经典一阶导数？
• RQ2 共形导数在下端点 a 处与经典导数之间存在何种关系？
• RQ3 能否将含共形导数的初值问题约化为等价的经典初值问题？
• RQ4 与经典微积分相比，共形导数框架在求解微分方程方面是否提供了新的数学优势？
• RQ5 是否存在某些物理或数学模型，使得共形导数能提供标准导数无法获得的独特见解？

主要发现

• 对于任意 t ≠ a，共形导数 T^α_a f(t) 的存在性等价于经典一阶导数 f'(t) 的存在性。
• 共形导数满足 T^α_a f(t) = (t−a)^{1−α} f'(t)，对所有 t > a 成立，建立了与经典导数的直接分析联系。
• 初值问题 T^α_a x(t) = F(t, x(t)) 且 x(a) = x_a 等价于经典常微分方程 x'(t) = (t−a)^{α−1} F(t, x(t)) 且具有相同初始条件。
• 此等价性意味着共形微分方程的解已包含在具有可积奇点的常微分方程理论之中。
• 共形导数并未扩展分数阶微积分的适用范围，也未提供超越经典一阶常微分方程的新分析工具。
• 唯一可能与经典导数不同的点是下端点 a，在该点处定义涉及导数的右极限。