[论文解读] Remarks on $L^p$-limiting absorption principle of Schrödinger operators and applications to spectral multiplier theorems

Shanlin Huang, Xiaohua Yao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 38被引用 3

一句话总结

本文为 $∞$ 上的薛定谔算子 $H = -\Delta + V$（$n \geq 3$）建立了 $L^p$-型极限吸收原理，证明了在 $V$ 满足可积性和谱正则性条件时，对 $\lambda > 0$，$(H - \lambda \pm i\epsilon)^{-1}$ 的统一 $L^{\frac{2(n+1)}{n+3}}$-$L^{\frac{2(n+1)}{n-1}}$ 余子估计。该结果可推出精确的谱乘子定理，并将统一的 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式推广至分数阶薛定谔算子。

ABSTRACT

This paper comprises two parts. We first investigate a $L^p$ type of limiting absorption principle for Schrödinger operators $H=-Δ+V$, i.e., In $\mathbb{R}^n$ ($n\ge 3$) we prove the $ε-$uniform $L^{\frac{2(n+1)}{n+3}}$-$L^{\frac{2(n+1)}{n-1}}$ estimates of the resolvent $(H-λ\pm iε)^{-1}$ for all $λ>0$ when the potential $V$ belongs to some integrable spaces and a spectral condition of $H$ at zero is assumed. As an application, we establish a sharp spectral multiplier theorem and $L^p$ bound of Bochner-Riesz means associated with Schrödinger operators $H$. Next, we consider the fractional Schrödinger operator $H=(-Δ)^α+V$ ($0<2α

研究动机与目标

• 将 $L^p$-型极限吸收原理推广至薛定谔算子 $H = -\Delta + V$ 的 $\lambda_0 = 0$ 情形。
• 利用统一的余子估计，建立 $H$ 的精确 Hörmander 型谱乘子定理。
• 将统一的 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式推广至分数阶薛定谔算子 $(-\Delta)^\alpha + V$（$0 < 2\alpha < n$）。
• 通过无嵌入本征值及零点处的正则性，刻画 $H$ 的谱行为。

提出的方法

• 在 $V \in L^{\frac{n}{2}+\sigma} \cap L^{\frac{n}{2}}$ 且在 $L^{\frac{2(n+1)}{n-1}}$ 中零正则性条件下，证明对 $\lambda > 0$，$(H - \lambda \pm i\epsilon)^{-1}$ 的统一 $L^{\frac{2(n+1)}{n+3}}$-$L^{\frac{2(n+1)}{n-1}}$ 余子估计。
• 利用 Stone 公式将余子估计与谱测度估计关联，从而获得谱乘子结果。
• 在分数阶情形下，应用极限吸收原理与紧致性论证，分析 $(-\Delta)^\alpha + V$ 的余子。
• 借助 Lorentz 空间与加权估计理论，特别是将 Kenig-Ruiz-Sogge 的结果推广至扰动情形。
• 利用 Hölder 不等式与摄动理论，控制 $H - z$ 在 $L^p$-算子范数下的余子。
• 应用 Fredholm 理论与 Rellich 的紧致性定理，证明奇异谱可能存在的谱集 $E$ 为 Lebesgue 零测集。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足 $V \in L^{\frac{n}{2}+\sigma} \cap L^{\frac{n}{2}}$ 的薛定谔算子，$L^p$-型极限吸收原理能否推广至 $\lambda_0 = 0$ 的情形？
• RQ2 当零为正则谱点时，$H = -\Delta + V$ 的统一 $L^p$ 余子估计成立的最优 $p$ 范围为何？
• RQ3 $H$ 的统一余子估计如何导出精确的谱乘子定理与博赫纳-里斯有界性？
• RQ4 能否将 $(-\Delta)^\alpha$ 的统一 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式推广至扰动情形 $(-\Delta)^\alpha + V$？
• RQ5 在何种条件下可保证薛定谔算子无嵌入本征值，且谱测度在零点处正则？

主要发现

• 在 $V \in L^{\frac{n}{2}+\sigma} \cap L^{\frac{n}{2}}$ 且在 $L^{\frac{2(n+1)}{n-1}}$ 中零正则性条件下，对 $\lambda > 0$，统一的 $L^{\frac{2(n+1)}{n+3}}$-$L^{\frac{2(n+1)}{n-1}}$ 余子估计 $\sup_{0<\epsilon<1}\|(-\Delta + V - (\lambda + i\epsilon))^{-1}\|_{L^{\frac{2(n+1)}{n+3}}-L^{\frac{2(n+1)}{n-1}}}} \leq C\lambda^{-\frac{1}{n+1}}$ 成立。
• 为 $H = -\Delta + V$ 建立了精确的 Hörmander 型谱乘子定理，其谱测度范数有界于 $C\lambda^{-\frac{1}{n+1}}$。
• 与 $H$ 关联的博赫纳-里斯算子在 $\frac{2(n+1)}{n+3} \leq p \leq \frac{2(n+1)}{n-1}$ 范围内满足 $L^p$ 有界性，与余子估计的范围一致。
• 对于分数阶薛定谔算子 $H = (-\Delta)^\alpha + V$（$0 < 2\alpha < n$），证明了统一的 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式，形式为 $\|(H - z)^{-1}\|_{L^p - L^{p'}} \leq C|z|^{\frac{n}{2\alpha}(\frac{1}{p} - \frac{1}{p'}) - 1}$，其中 $\max(\frac{2\alpha}{n}, \frac{n+3}{2(n+1)}) < \frac{1}{p} \leq \frac{n+2\alpha}{2n}$。
• 当 $\|V\|_{L^{\frac{n}{2\alpha}}} \leq c_0$ 且 $c_0 > 0$ 足够小时，$H = (-\Delta)^\alpha + V$ 的余子满足统一的 $L^p$-算子有界性。
• 在 $(-\Delta)^m + V$ 中，奇异谱包含于一个 Lebesgue 零测集 $E \subset \mathbb{R}$ 内，且余子在 $\mathbb{C}_+ \setminus \{0\} \setminus E$ 上连续，在 $\mathbb{R} \setminus E \setminus \{0\}$ 的紧子集上具有一致有界性。