[论文解读] Remarks on the conjectured log-Brunn-Minkowski inequality

Christos Saroglou|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2013

Point processes and geometric inequalities参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文通过在对数坐标变换后应用Prékopa-Leindler不等式，证明了关于无条件凸体（即关于坐标超平面对称的凸体）的对数-Brunn-Minkowski猜想。关键结果建立了该不等式并完全刻画了等号成立的情形，表明等号成立当且仅当一个体是另一个体的正定对角变换，该结论进一步推广至Lp不等式及对数Minkowski问题。

ABSTRACT

\footnotesize Böröczky, Lutwak, Yang and Zhang recently conjectured a certain strengthening of the Brunn-Minkowski inequality for symmetric convex bodies, the so-called log-Brunn-Minkowski inequality. We establish this inequality together with its equality cases for pairs of unconditional convex bodies with respect to some orthonormal basis. Applications of this fact are discussed. Moreover, we prove that the log-Brunn-Minkowski inequality is equivalent to the (B)-Theorem for the uniform measure of the cube (this has been proven by Cordero-Erasquin, Fradelizi and Maurey for the gaussian measure instead).

研究动机与目标

• 证明无条件凸体的对数-Brunn-Minkowski猜想。
• 刻画该类凸体在对数-Brunn-Minkowski不等式中的等号成立情形。
• 建立对数-Brunn-Minkowski不等式与立方体上均匀测度下的(B)-定理之间的等价性。
• 将Lp-Brunn-Minkowski与Lp-Minkowski不等式在0 < p < 1范围内的有效性推广至无条件凸体。

提出的方法

• 对无条件凸体的0-凸组合进行对数变换后，应用Prékopa-Leindler不等式。
• 通过变量替换zi ↦ ezi，将0-组合的体积与Prékopa-Leindler设定联系起来。
• 证明对数-Brunn-Minkowski不等式中等号成立当且仅当一个体是另一个体的正定对角变换。
• 通过分析表面积测度的支集并利用H"older不等式，将等号情形约化至不可约分量。
• 通过投影到坐标子空间，证明乘积体的0-组合满足该不等式。
• 利用子空间集中条件，将对数-Brunn-Minkowski不等式与对数Minkowski问题联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对数-Brunn-Minkowski不等式是否对所有对称凸体（尤其是无条件凸体）成立？
• RQ2 在无条件情形下，对数-Brunn-Minkowski不等式的精确等号成立情形是什么？
• RQ3 对数-Brunk-Minkowski不等式是否与立方体上均匀测度下的(B)-定理等价？
• RQ4 Lp-Brunn-Minkowski与Lp-Minkowski不等式在0 < p < 1范围内能否推广至无条件凸体？
• RQ5 锥体积测度在无条件情形下如何与对数-Brunk-Minkowski不等式关联？

主要发现

• 对数-Brunn-Minkowski不等式对所有关于同一正交基的无条件凸体对均成立。
• 对数-Brunk-Minkowski不等式中等号成立当且仅当一个体是另一个体的正定对角变换。
• 该不等式蕴含了无条件情形下Lp-Brunk-Minkowski与Lp-Minkowski不等式在0 < p < 1范围内的有效性。
• Lp不等式的等号情形由相同的对角变换条件完全刻画。
• 对数-Brunk-Minkowski不等式与立方体上均匀测度下的(B)-定理等价。
• 无条件凸体的锥体积测度满足子空间集中条件，从而与对数Minkowski问题建立联系。