[论文解读] Remarks on the Dynamic of the Ruelle Operator and invariant differentials

Peter Makienko|ArXiv.org|Apr 29, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文研究了有理映射在微分形式空间上 Ruelle 算子的动力学，通过测度序列收敛性与 Ruelle-Poincaré 级数行为，建立了 Julia 集上不存在不变共形结构的必要与充分条件。主要贡献在于证明：除 Lattés 映射外，在后临界集条件下，不存在不变的正则微分形式（包括扩充亚纯形式），从而将先前关于可积微分形式的结果推广至更广的正则微分形式类.

ABSTRACT

Let $ R $ be a rational map. We are interesting in the dynamic of the Ruelle operator on suitable spaces of differentials. In particular the necessary and sufficient conditions (in terms of convergence of sequences of measures) of existence of invariant conformal structures on $ J(R) $ are obtained.

研究动机与目标

• 通过 Ruelle 算子的动力学，刻画有理映射 Julia 集上不变共形结构的存在性。
• 将先前关于不变可积微分形式的结果推广至更广的正则微分形式类，包括扩充亚纯形式。
• 基于测度序列收敛性与 Ruelle-Poincaré 级数行为，建立 Julia 集具有零 Lebesgue 测度及不存在不变共形结构的必要与充分条件。
• 将先前研究中的附加条件重新表述为涉及 Ruelle 算子模与谱行为的等价动力学准则。
• 研究 Ruelle 算子与 Beltrami 算子的谱，特别关注其与 J-稳定性及双曲性的关系。

提出的方法

• Ruelle 算子 $ R^* $ 定义在 $ L_1(\overline{\mathbb{C}}) $ 与 $ L_p(\overline{\mathbb{C}}) $ 上，通过有理映射 $ R $ 的逆分支拉回作用于微分形式。
• 利用 Ruelle 算子的模 $ |R^*| $ 分析其谱行为及与不变结构相关的测度序列收敛性。
• 构造与候选不变共形结构 $ \mu $ 相关的拟共形映射 $ f_\mu $，并推导出相关映射 $ h $ 可在 Fatou 集上以相同无穷小形变被支撑的条件。
• 证明依赖反证法：假设存在非平凡不变正则微分形式，将导致某临界点具有有限正向轨道，与无限轨道假设矛盾。
• 作者利用广义 Sullivan 猜想及 Poincaré 级数的性质，将不变微分形式的不存在性与 Beltrami 算子非平凡不动点的缺失联系起来。
• 对 $ L_1 $ 上 $ R^* $ 的谱分析表明，其谱为闭单位圆盘，利用特征函数结构在后临界轨道无限的假设下导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 Ruelle 算子的动力学在何种条件下意味着 Julia 集上不存在不变共形结构？
• RQ2 测度序列的收敛性与 Ruelle-Poincaré 级数的行为如何与不变共形结构的缺失相关联？
• RQ3 在后临界集条件下，不变正则微分形式（超越可积形式）的缺失是否等价于映射非 Lattés 映射？
• RQ4 Ruelle 算子在 Poincaré 级数函数线性张成闭包上的谱是否仅对后临界有限映射为有限？
• RQ5 若 $ R^k $ 在其 Hurwitz 类中 J-稳定，是否意味着对所有 $ n > k $，$ R^n $ 也 J-稳定？这对 Beltrami 算子的点谱有何含义？

主要发现

• 在 $ L_1(\overline{\mathbb{C}}) $ 上，Ruelle 算子 $ R^* $ 的谱为闭单位圆盘，且每个内部点均为特征值。
• 对任意有理映射 $ R $，在与 [Mak2] 相同的后临界集假设下，不存在非平凡不变正则微分形式（包括扩充亚纯形式）当且仅当 $ R $ 不是 Lattés 映射。
• Julia 集具有 Lebesgue 测度零的必要与充分条件是：与 Ruelle 算子作用于 Poincaré 级数相关的特定测度序列收敛。
• Julia 集 $ J(R) $ 上不存在不变共形结构，等价于由 $ \mu_n = (R^*)^n(\tau_a) $ 定义的测度序列 $ \mu_n $ 的收敛性，其中 $ \tau_a $ 为 Poincaré 级数函数。
• Ruelle-Poincaré 级数的共同行为——特别是绝对收敛性与衰减性——构成不存在不变共形结构的充分条件，推广了早期结果。
• 证明表明：若存在非平凡不变正则微分形式，则具有无限正向轨道的临界点必具有有限正向轨道，与假设矛盾，从而证明其不存在。