[论文解读] Remarks on the Extremal Functions for the Moser-Trudinger Inequality

Yu, ■ Xiang+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2006

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文证明了在紧致黎曼流形带边界的条件下，当参数 $\lambda$ 足够接近 1 时，Moser-Trudinger 不等式的极值泛函可以达到。该结果反驳了 de Figueiredo、do O 和 Ruf 关于在某些条件下 Trudinger-Moser 不等式中的最佳常数不可达的猜想。

ABSTRACT

We will show in this paper that if $\lambda$ is very close to 1, then $$I(M,\lambda,m)= \sup_{u\in H^{1,n}_0(M) ,\int_M| abla u|^ndV=1}\int_\Omega (e^{\alpha_n |u|^\frac{n}{n-1}}-\lambda\sum\limits_{k=1}^m\frac{|\alpha_nu^\frac{n}{n-1}|^k} {k!})dV,$$ can be attained, where $M$ is a compact manifold with boundary. This result gives a counter example to the conjecture of de Figueiredo, do \'o, and Ruf in their paper titled On a inequality by N.Trudinger and J.Moser and related elliptic equations (Comm. Pure. Appl. Math.,{\bf 55}:135-152, 2002).

研究动机与目标

• 研究紧致带边流形上 Trudinger-Moser 不等式中最佳常数的可达性。
• 研究当 $\lambda$ 趋近于 1 时泛函 $I(M,\lambda,m)$ 的行为。
• 挑战 de Figueiredo、do O 和 Ruf 关于 $\lambda < 1$ 时极值泛函不可达的猜想。
• 确定 Moser-Trudinger 不等式中上确界被实现的条件。

提出的方法

• 分析定义在 Sobolev 空间 $H^{1,n}_0(M)$ 上、梯度具有单位 $L^n$-范数的泛函 $I(M,\lambda,m)$。
• 使用变分法研究涉及指数增长和截断幂级数的泛函的极大值点的存在性。
• 应用集中紧性原理处理临界指数嵌入中的紧性损失问题。
• 对 $e^{\alpha_n |u|^{n/(n-1)}}$ 的展开式中的余项进行估计，以控制参数 $\lambda$ 的影响。
• 将该泛函与已知的最优 Trudinger-Moser 不等式进行比较，以识别可达性的临界阈值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $\lambda$ 条件下，极值泛函 $I(M,\lambda,m)$ 可达？
• RQ2 de Figueiredo、do O 和 Ruf 关于 $\lambda$ 接近 1 时的猜想是否成立？
• RQ3 当 $\lambda$ 任意接近 1 时，Moser-Trudinger 不等式中的上确界是否可以实现？
• RQ4 截断指数级数在泛函可达性中起什么作用？

主要发现

• 当 $\lambda$ 足够接近 1 时，泛函 $I(M,\lambda,m)$ 可达，表明在此参数范围内极值函数存在。
• 该结果直接反驳了 de Figueiredo、do O 和 Ruf 的猜想，他们曾断言当 $\lambda < 1$ 时不可达。
• 可达性的临界阈值位于 $\lambda = 1$ 附近，表明极值问题的行为在此处发生急剧转变。
• 当 $\lambda$ 接近 1 时，截断指数级数 $\lambda \sum_{k=1}^m \frac{|\alpha_n u|^{k}}{k!}$ 的存在并不妨碍可达性的实现。