[论文解读] Remarks on the Fundamental Lemma for stable twisted Endoscopy of Classical Groups

Joachim Ballmann, Rainer Weissauer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文通过将 $\Theta$-扭曲轨道积分匹配问题约化为关于 $\mathrm{SO}_{2n+1}$ 和 $\mathrm{Sp}_{2n}$ 的普通稳定轨道积分的猜想性陈述——即 $BC$-猜想——建立了经典群中稳定扭曲端李代数的基本引理。利用 Kazhdan 技巧和拓扑 Jordan 分解，证明了在假设 $BC_n$-猜想对更小秩成立的前提下，$\widetilde{\mathrm{SO}}_{2n+2}$ 和 $\mathrm{Sp}_{2n}$ 中匹配的半单元素产生相等的稳定轨道积分。

ABSTRACT

The twisted fundamental lemmas for three series of stable twisted endoscopy (Sp_{2n} to PGL_{2n+1}, GSpin_{2n+1} to GL_{2n} imes GL_1, Sp_{2n} to SO_{2n+2}) will be reduced to a fundamental-lemma-like statement for ordinary (i.e. untwisted) stable orbital integrals on the groups $\SO_{2n+1}$ of type $B_n$ resp. $\SP_{2n}$ of type $C_n$. This manusript, written around 2001, anticipates similar results of Waldspurger (2008), and may be used to reduce the twisted fundamental lemma to the work of Ngo. The original aim was to reduce the fundumantal lemma for the lift from Sp_4 to PGL_5 to the twisted fundamental lemma for the lift from GSp_4=GSpin_5 to Gl_4 imes GL_1.

研究动机与目标

• 建立经典群中稳定扭曲端李代数的基本引理，特别是从 $\mathrm{Sp}_{2n}$ 到 $\widetilde{\mathrm{PGL}}_{2n+1}$ 及相关群的提升。
• 将 $\Theta$-扭曲基本引理约化为关于 $\mathrm{SO}_{2n+1}$ 和 $\mathrm{Sp}_{2n}$ 的普通稳定轨道积分的猜想性陈述，称为 $BC_n$-猜想。
• 在假设对所有 $m \leq n$ 的 $BC_m$-猜想成立的前提下，证明 $\widetilde{\mathrm{SO}}_{2n+2}(F)$ 和 $\mathrm{Sp}_{2n}(F)$ 中匹配的半单元素产生相等的稳定轨道积分。
• 为 $\mathrm{GSp}_4$ 关联的 Shimura 簇上的自守表示与伽罗瓦表示理论提供基础工具。
• 通过 $p$-进群中的拓扑 Jordan 分解与中心化子分析，阐明扭曲与未扭曲轨道积分之间的关系。

提出的方法

• 应用 Kazhdan 技巧（引理 5.5），将 $\widetilde{G}$ 上的 $\Theta$-扭曲轨道积分与端李代数群 $H$ 上的稳定轨道积分联系起来。
• 利用拓扑 Jordan 分解，将 $\widetilde{\mathrm{SO}}_{2n+2}(F)$ 和 $\mathrm{Sp}_{2n}(F)$ 中的元素分解为半单部分与幂零部分，从而实现对匹配成分的约化。
• 在 $\mathrm{SO}_{2n+1}(\mathcal{O}_F)$ 和 $\mathrm{Sp}_{2n}(\mathcal{O}_F)$ 的正则拓扑幂零元素之间使用 $BC$-匹配，使它们的稳定轨道积分相等。
• 通过 $\mathrm{O}_{2n+2}(\mathcal{O}_F)$ 中的代表元分析 $\widetilde{\mathrm{SO}}_{2n+2}(F)$ 中的共轭类，区分 $\det = 1$ 与 $\det = -1$ 分量。
• 应用引理 5.7，将稳定轨道积分在中心化子的乘积上分解，利用 $\mathrm{SO}_{2n+2}^s$ 与 $\mathrm{SO}_{2n+2}^{s''}$ 作为代数群同构的事实。
• 利用 $\Theta$-作用定义 $\widetilde{G} = G \rtimes \langle \Theta \rangle$，其中 $\Theta(g) = J \cdot {}^t g^{-1} \cdot J^{-1}$，以建模扭曲端李代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$\widetilde{\mathrm{PGL}}_{2n+1}$ 上的 $\Theta$-扭曲轨道积分与 $\mathrm{Sp}_{2n}$ 上的稳定轨道积分相匹配？
• RQ2 如何将扭曲端李代数的基本引理约化为关于 $\mathrm{SO}_{2n+1}$ 和 $\mathrm{Sp}_{2n}$ 上普通稳定轨道积分的陈述？
• RQ3 $BC$-匹配在通过外自同构关联经典群之间稳定轨道积分的过程中起到何种作用？
• RQ4 拓扑 Jordan 分解与中心化子结构如何影响 $p$-进群中轨道积分的匹配？
• RQ5 在给定匹配条件下，$\mathrm{Sp}_{2n}(F)$ 与 $\widetilde{\mathrm{SO}}_{2n+2}(F)$ 中的稳定共轭类之间的确切关系是什么？

主要发现

• 在假设 $BC_1$-猜想成立的前提下，建立了从 $\mathrm{Sp}_4$ 到 $\widetilde{\mathrm{PGL}}_5$ 的稳定提升的基本引理。
• 对于 $\gamma \in \mathrm{Sp}_{2n}(F)$ 和 $g \in \widetilde{\mathrm{SO}}_{2n+2}(F)$，若其半单部分匹配，则在 $BC_n$-猜想对所有 $m \leq n$ 成立的前提下，有 $O^{st}_{g}(1,\widetilde{\mathrm{SO}}_{2n+2}) = O^{st}_{\gamma}(1,\mathrm{Sp}_{2n})$。
• 若 $\gamma \in \mathrm{Sp}_{2n}(F)$ 在 $\widetilde{\mathrm{SO}}_{2n+2}(F)$ 中不匹配任何元素，则 $O^{st}_{\gamma}(1,\mathrm{Sp}_{2n}) = 0$，确认了匹配条件的必要性。
• 证明依赖于将元素分解为拓扑 Jordan 成分：$\mathrm{SO}_{2n+1}$ 的 $u_+, u_-, u_*$ 与 $\mathrm{Sp}_{2n}$ 的 $v_+, v_-, v_*$，并实现 $u_\pm$ 与 $v_\pm$ 之间的 $BC$-匹配。
• $\mathrm{O}_{2n+2}(\mathcal{O}_F)$ 中行列式为 $-1$ 的元素 $s$ 的中心化子 $\mathrm{SO}_{2n+2}^s$ 同构于 $\mathrm{SO}_{2r_{\pm}+1}$ 与 $\mathrm{Sp}_{2g}$ 中心化子的乘积，从而实现积分分解。
• $\mathrm{SO}_{2n+2}^s$ 中中心化子的两个连通分支带来的 $\frac{1}{2}$ 因子，被 $s$ 与 $s''$ 的两个共轭类带来的 $2$ 因子所抵消，从而在轨道积分和中保持了等式成立。