[论文解读] The endoscopic fundamental lemma for unitary Friedberg-Jacquet periods

Spencer Leslie|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 29被引用 9

一句话总结

本文证明了酉对称空间 $U(2n)/U(n)\times U(n)$ 的内播基本引理，为稳定化与弗里德伯格-雅克iet周期相关的相对迹公式的局部关键组成部分奠定了基础。通过利用韦伊表示、轨道积分转移和基变换技术，本文验证了内播群与真实群之间球对称轨道积分的转移，从而为自守形式与L-函数算术的全局应用铺平了道路。

ABSTRACT

We prove the endoscopic fundamental lemma for the Lie algebra of the symmetric space $U(2n)/U(n) imes U(n)$, where $U(n)$ denotes a unitary group of rank $n$. This is the first major step in the stabilization of the relative trace formula associated to the $U(n) imes U(n)$-periods of automorphic forms on $U(2n)$.

研究动机与目标

• 为对称空间 $U(2n)/U(n)\times U(n)$ 建立内播基本引理，这是稳定化 $U(n)\times U(n)$-周期相对迹公式的关键一步。
• 解决由于酉弗里德伯格-雅克iet周期的相对迹公式非稳定性质而引发的局部谱论问题。
• 通过韦伊表示和基变换，证明 $U(2n)$ 的李代数与其实内播数据之间的轨道积分转移。
• 提供一个局部框架，以支持关于非零L-值与标准平方L-函数极点与周期区分自守表示之间关系的全局猜想。
• 完成在酉群背景下稳定化相对迹公式椭圆部分的第一步重大进展。

提出的方法

• 利用韦伊表示将 $\operatorname{GL}_n(E)$ 上的轨道积分与酉群 $U(V_{n-1})$ 上的轨道积分联系起来，从而实现分布的转移。
• 应用基变换同态 $BC: \mathcal{H}_{K_{n,E}}(\operatorname{GL}_n(E)) \to \mathcal{H}_{K_n}(\operatorname{GL}_n(F))$，将 $E$ 和 $F$ 上的自守形式联系起来，这对轨道积分的匹配至关重要。
• 采用平野的 $\mathcal{H}$-同构，将 $\operatorname{GL}_{n-1}(E)\times \operatorname{GL}_n(E)$ 上的卷积结构与 $\operatorname{GL}_n(E)$ 联系起来，促进测试函数的转移。
• 利用收缩映射 $f \mapsto \tilde{f}$ 将函数从 $\operatorname{GL}_{n-1}(E)\times \operatorname{GL}_n(E)$ 提升至 $\operatorname{GL}_n(E)$，确保与轨道积分的兼容性。
• 依赖于包含 $BC$、$\ast\mathbf{1}_0$ 和 $H$ 的交换图，验证 $\widetilde{BC(\Phi)} = H(\varphi \ast \mathbf{1}_0)$，从而建立群间转移的一致性。
• 应用扭曲的雅克iet-拉尔斯转移定理，通过转移因子 $\Omega(\gamma)$ 匹配轨道积分，确保在内播转移下的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 内播基本引理由 [Les19a] 中的猜想是否对对称空间 $U(2n)/U(n)\times U(n)$ 成立？
• RQ2 能否通过韦伊表示和基变换，将 $U(2n)$ 的李代数上的轨道积分转移到其内播群 $U(n)\times U(n)$ 上？
• RQ3 在基变换映射下，$\operatorname{GL}_n(E)$ 与 $U(V_{n-1})$ 上的球对称轨道积分是否存在精确匹配，且转移因子是否正确？
• RQ4 能否利用此局部内播理论稳定化酉弗里德伯格-雅克iet周期的相对迹公式？
• RQ5 轨道积分的转移是否意味着全局猜想中 $L$-函数极点与非零中心值与周期区分自守表示之间的关系？

主要发现

• 已证明对称空间 $U(2n)/U(n)\times U(n)$ 的内播基本引理，确立了稳定化过程中的关键局部组成部分。
• 对任意 $\varphi \in \mathcal{H}_{K_{n,E}}(\operatorname{GL}_n(E))$ 及正则半单元素 $Y \in \operatorname{GL}_n(F)^{rss}$，当 $X \leftrightarrow Y$ 通过基变换映射时，有 $\operatorname{Orb}^{U(V_{n-1})}(\varphi \ast \mathbf{1}_0, Y) = \omega(X)\operatorname{Orb}^{\operatorname{GL}_{n-1}(F),\eta}(BC(\varphi), X)$。
• 当 $X$ 不对应于任何 $Y$ 时，轨道积分 $\operatorname{Orb}^{\operatorname{GL}_{n-1}(F),\eta}(BC(\varphi), X)$ 恒为零，确认了正确的转移行为。
• 通过韦伊表示和平野的 $\mathcal{H}$-同构验证了球对称轨道积分的转移，确保与内播结构兼容。
• 定理 5.3 的证明确认了 $\operatorname{GL}_n(E)$ 与 $U(V_{n-1})$ 之间分布的转移，完成了向基变换基本引理的约化。
• 由于此局部结果，格茨与万巴赫的全局猜想（猜想 1.1）现在已可实现，因为相对迹公式的稳定化已变得可行。