[论文解读] Removahedral congruences versus permutree congruences

Doriann Albertin, Vincent Pilaud+1 more|arXiv (Cornell University)|May 30, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文在弱序的格同余背景下，确立了removahedra与商多面体之间的严格二分法：唯有permutree同余才能实现为removahedra。通过组合描述射线、可交换射线对和面，全面刻画了permutree扇形的类型锥，从而实现了对这些扇形所有多面体实现的完整分类，并表征了其类型锥为单纯形的条件。

ABSTRACT

The associahedron is classically constructed as a removahedron, i.e. by deleting inequalities in the facet description of the permutahedron. This removahedral construction extends to all permutreehedra (which interpolate between the permutahedron, the associahedron and the cube). Here, we investigate removahedra constructions for all quotientopes (which realize the lattice quotients of the weak order). On the one hand, we observe that the permutree fans are the only quotient fans realized by a removahedron. On the other hand, we show that any permutree fan can be realized by a removahedron constructed from any realization of the braid fan. Our results finally lead to a complete description of the type cone of the permutree fans.

研究动机与目标

• 解决长期存在的问题：弱序的哪些格同余可实现为 removahedra 的多面体形式。
• 为每个 permutree 扇形提供完整的组合型类型锥描述，从而实现对这些扇形所有多面体实现的全面分类。
• 建立强二分法：removahedra 仅能实现 permutree 同余，而不能实现一般商多面体。
• 表征 permutree 扇形类型锥为单纯形的条件，将其与规范的闵可夫斯基和分解及运动学空间实现联系起来。
• 通过证明任意 braid 扇形实现均可作为 removahedra 构造 permutree 扇形的基底，统一并推广了先前对 associahedra 和 permutreehedra 的构造。

提出的方法

• 将扇形的类型锥定义为通过墙交叉不等式实现的所有实现的集合，使用形变锥的框架进行分析。
• 利用 permutree 的装饰 δ 的组合数据，通过 [n] 的子集来描述 δ-permutree 扇形的射线，如命题 32 所形式化。
• 通过子集上的组合条件表征扇形中的可交换射线对，如命题 39 所示，以识别相邻的最大锥。
• 使用对应于墙交叉不等式的子集对，推导出 permutree 扇形类型锥的面描述，如命题 45 所示。
• 构造一族由正向量 u ∈ ℝF>0 参数化的多面体 Qδ(u)，证明其可实现所有可能的 δ-permutree 扇形实现。
• 利用射线和面的参数化，证明 permutree 扇形的类型锥完全由装饰 δ 决定，并推导出其面数的求和公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱序在 Sn 上的哪些格同余可实现为 removahedra？
• RQ2 每个 permutree 扇形是否都能通过 braid 扇形的任意实现构造为 removahedra？
• RQ3 permutree 扇形的类型锥的完整组合结构是什么？
• RQ4 对于哪些装饰 δ，δ-permutree 扇形的类型锥是单纯形？
• RQ5 控制类型锥的墙交叉不等式如何与 permutree 的组合结构相关联？

主要发现

• 一个弱序的格同余可实现为 removahedra，当且仅当它是 permutree 同余，从而确立了严格的二分法（定理 1）。
• 任意 permutree 扇形均可通过 braid 扇形的任意实现构造为 removahedra，而不仅限于经典的 permutahedron。
• δ-permutree 扇形的射线完全由 [n] 的子集上的组合条件描述，如命题 32 所示。
• 可交换射线对（即位于相邻最大锥中的射线）通过特定子集对在命题 39 中被表征。
• δ-permutree 扇形类型锥的面完全由对应于墙交叉不等式的子集对描述，如命题 45 所示。
• 当且仅当 δ 满足某些组合条件时，permutree 扇形的类型锥为单纯形，这导致所有实现的规范闵可夫斯基和分解（推论 54）。