[论文解读] Renormalization and the Euler-Maclaurin formula on cones

Li Guo, Sylvie Paycha+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文将Connes与Kreimer的代数重整化框架应用于凸有理多面锥中格点上的指数和，引入了格点锥与带装饰的余代数结构。通过解析Birkhoff分解建立了这些和的卷积分解，其结果与Berline与Vergne的广义Euler-Maclaurin公式一致，并将非正整数处的重整化锥zeta值定义为插值全纯函数的泰勒系数。

ABSTRACT

The generalized algebraic approach of Connes and Kreimer to perturbative quantum field theory is applied to the study of exponential sums on lattice points in convex rational polyhedral cones. For this purpose we introduce the notion of lattice cone, which is a convex rational polyhedral cone equipped with a lattice in the linear space generated by the cone. The space of lattice cones is equipped with a connected coalgebra structure, which is further generalized to decorated lattice cones by means of a differentiation procedure. Regularized sums on lattice cones obtained as a formal Laplace transform of the characteristic function of the set of lattice points of the cone lie in a class of germs of meromorphic functions. A decomposition of the algebra of germs of meromorphic functions with linear poles derived by the authors allows for a linear complement to the algebra of germs of holomorphic functions. The Algebraic Birkhoff Factorization of Connes and Kreimer adapted and generalized to this context then gives rise to a convolution factorization of exponential sums on lattice points in lattice cones. After having shown the subdivision properties of the related linear maps on the space of lattice cones under proper choices of inner products, we show that this factorization coincides with the classical Euler-Maclaurin formula generalized to convex rational polyhedral cones by Berline and Vergne by means of an interpolating holomorphic function. We define renormalized conical zeta values at non-positive integers as the Taylor coefficients at zero of the interpolating holomorphic function. When restricted to Chen cones, this yields yet another way to renormalize multiple zeta values at non-positive integers previously investigated by the authors using other approaches.

研究动机与目标

• 将Connes-Kreimer重整化方法扩展至凸有理多面锥中格点上的指数和。
• 在格点锥上定义余代数结构，并通过微分过程将其推广至带装饰的格点锥。
• 在具有线性极点的亚纯芽的上下文中，通过代数Birkhoff分解建立指数和的分解。
• 证明该分解与Berline与Vergne的广义Euler-Maclaurin公式一致。
• 将非正整数处的重整化锥zeta值定义为插值全纯函数的泰勒系数，并加以研究。

提出的方法

• 引入格点锥的概念：即在其张成线性空间中嵌入格点的凸有理多面锥。
• 在格点锥空间上构造一个连通余代数结构，并通过微分过程将其扩展至带装饰的格点锥。
• 利用具有线性极点的亚纯函数芽代数，定义全纯芽的线性补空间，从而实现分解。
• 通过卷积应用广义代数Birkhoff分解，将指数和分解为全纯部分与极点部分。
• 在适当内积选择下，建立所得线性映射的剖分性质。
• 通过插值全纯函数证明该分解与经典的Berline-Vergne广义Euler-Maclaurin公式一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Connes-Kreimer重整化框架适配于凸有理多面锥中格点上的指数和？
• RQ2 格点锥的余代数结构是什么？通过微分进行装饰如何扩展其应用价值？
• RQ3 所得的指数和分解是否与已知的解析公式（如广义Euler-Maclaurin公式）一致？
• RQ4 在此框架下，非正整数处的重整化锥zeta值如何定义与计算？
• RQ5 该方法与先前对多重zeta值在非正整数处的重整化之间有何关系？

主要发现

• 在格点锥背景下，代数Birkhoff分解产生指数和的卷积分解，其结果精确匹配Berline与Vergne的广义Euler-Maclaurin公式。
• 具有线性极点的亚纯函数芽空间存在全纯芽的线性补空间，从而支持该分解过程。
• 非正整数处的重整化锥zeta值被定义为从分解中产生的插值全纯函数在零点的泰勒系数。
• 当选择适当的内积时，分解过程尊重剖分律，确保在锥分解下的一致性。
• 当限制于Chen锥时，该方法重现了先前通过其他方法获得的非正整数处的重整化多重zeta值。
• 该框架为Euler-Maclaurin公式提供了新的代数-几何解释，其核心在于重整化与格点锥上的余代数结构。