[论文解读] Renormalization of determinant lines in Quantum Field Theory

Nguyen Viet Dang|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 55被引用 1

一句话总结

本文在紧致黎曼流形上对非自伴椭圆算子的弗雷chet空间扰动空间上构造并分类了复解析函数，利用量子场论中的局部重整化方法定义了‘重整化行列式’。证明了这些行列式为扰动空间上的行列式线丛提供了全纯截面，解决了Quillen于1989年提出的猜想，并通过zeta行列式、高斯自由场和Epstein-Glaser微扰理论，将重整化与几何分析联系起来。

ABSTRACT

On a compact manifold $M$, we consider the affine space $A$ of non self-adjoint perturbations of some invertible elliptic operator acting on sections of some Hermitian bundle, by some differential operator of lower order. We construct and classify all complex analytic functions on the Fr\'echet space $A$ vanishing exactly over non invertible elements, having minimal order and which are obtained by local renormalizations, a concept coming from quantum field theory, called renormalized determinants. The additive group of local polynomial functionals of finite degrees acts freely and transitively on the space of renormalized determinants. We provide different representations of the renormalized determinants in terms of spectral zeta determinants, Gaussian Free Fields, infinite product and renormalized Feynman amplitudes in perturbation theory in position space \`a la Epstein-Glaser. Specializing to the case of Dirac operators coupled to vector potentials and reformulating our results in terms of determinant line bundles, we prove our renormalized determinants define some complex analytic trivializations of some holomorphic line bundle over $A$ relating our results to a conjectural picture from some unpublished notes by Quillen [52] from April 1989.

研究动机与目标

• 在紧致黎曼流形上固定一个可逆椭圆算子的低阶扰动的弗雷chet空间上，构造并分类复解析函数，使得这些函数在非可逆元素处恰好为零。
• 通过量子场论中的概念——局部重整化，将这些函数表征为‘重整化行列式’。
• 证明这些重整化行列式在扰动空间上定义了行列式线丛的全纯截面。
• 将结果与Quillen于1989年未发表的猜想联系起来，该猜想涉及QFT路径积分与行列式线丛之间的关系。
• 通过谱zeta函数、高斯自由场、无限乘积和Epstein-Glaser费曼振幅，提供重整化行列式的多种表达形式。

提出的方法

• 使用仿射空间A，即紧致黎曼流形上固定可逆椭圆算子的低阶扰动空间。
• 应用量子场论中的局部重整化技术，定义沿复射线增长最小的函数行列式。
• 采用谱zeta正则化和zeta-正则化行列式来定义重整化行列式。
• 利用高斯自由场和无限乘积表示，从概率和分析角度表达行列式。
• 在位置空间中应用Epstein-Glaser微扰理论，将行列式表示为重整化费曼振幅。
• 利用有限全纯性和局部有界性，证明沿复射线的逐点相等性可推出弗雷chet空间上全纯函数的全局相等性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在非自伴扰动空间上构造复解析函数，使其在非可逆算子处恰好为零，且在无穷远处增长最小？
• RQ2 局部重整化在定义此类行列式中起什么作用？它与量子场论有何关联？
• RQ3 重整化行列式与几何分析中的行列式线丛有何关系？
• RQ4 Quillen（1989年）关于QFT路径积分与行列式线丛之间关系的猜想，能否在数学上实现？
• RQ5 重整化行列式有哪些不同的分析与概率表示形式？

主要发现

• 重整化行列式空间在有限次数的局部多项式泛函的加法群作用下自由且传递。
• 证明了重整化行列式是弗雷chet空间A上的全纯函数，且在非可逆扰动处恰好为零。
• 重整化行列式为A上的全纯行列式线丛提供了全纯截面，从而实现了Quillen猜想的几何实现。
• 行列式具有多种表达形式：作为谱zeta行列式、作为高斯自由场的期望、作为无限乘积，以及作为Epstein-Glaser重整化费曼振幅。
• 证明的关键在于：若全纯函数在复射线上逐点相等，且具有局部有界性，则通过弗雷chet空间中的泰勒级数和柯西积分公式可推出其全局相等。
• 利用ψ+01,0演算中热核收敛于恒等算子的性质，建立了重整化行列式的连续性与全纯性。