[论文解读] Repeated Fair Allocation of Indivisible Items

Ayumi Igarashi, Martin Lackner+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2023

Game Theory and Voting SystemsEconomics, Econometrics and Finance被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对不可分物品与 chores 重复公平分配的新型模型，表明当重复次数为参与人数的倍数时，比例公平且帕累托最优的分配始终存在。对于两名参与者且轮次为偶数的情形，可实现整体上无 envy 且帕累托最优的分配序列，同时具备强轮次公平性保障，如 EF1 或至多一项物品的弱 envy 自由。

ABSTRACT

The problem of fairly allocating a set of indivisible items is a well-known challenge in the field of (computational) social choice. In this scenario, there is a fundamental incompatibility between notions of fairness (such as envy-freeness and proportionality) and economic efficiency (such as Pareto-optimality). However, in the real world, items are not always allocated once and for all, but often repeatedly. For example, the items may be recurring chores to distribute in a household. Motivated by this, we initiate the study of the repeated fair division of indivisible goods and chores, and propose a formal model for this scenario. In this paper, we show that, if the number of repetitions is a multiple of the number of agents, there always exists a sequence of allocations that is proportional and Pareto-optimal. On the other hand, irrespective of the number of repetitions, an envy-free and Pareto-optimal sequence of allocations may not exist. For the case of two agents, we show that if the number of repetitions is even, it is always possible to find a sequence of allocations that is overall envy-free and Pareto-optimal. We then prove even stronger fairness guarantees, showing that every allocation in such a sequence satisfies some relaxation of envy-freeness. Finally, in case that the number of repetitions can be chosen freely, we show that envy-free and Pareto-optimal allocations are achievable for any number of agents.

研究动机与目标

• 形式化一种重复公平分配不可分物品的新模型，区分轮次内与整体的公平性和效率标准。
• 探究在一系列分配中，公平性（无 envy）与效率（帕累托最优）是否可同时实现。
• 探索在重复设置下公平性与效率之间的权衡，特别是当重复次数为固定或可变时。
• 确定无 envy 且帕累托最优分配序列存在的条件，尤其针对两名参与者，以及任意数量参与者在可变重复次数下的情况。
• 通过利用分数分配与随机化分配作为理论工具，弥合不可分与可分公平分配之间的差距。

提出的方法

• 提出一个正式的重复分配模型，评估分配序列在整体与轮次内的公平性与效率。
• 引入“重复转换”概念，将分数或随机化分配转化为一系列离散分配。
• 以分数分配为理论基础，证明在分数设置下帕累托最优与无 envy 性质可推出在重复离散设置下的相应性质。
• 应用引理 21 表明，任何无 envy 且帕累托最优的分数分配均可通过具有轮次内 PROP[1,1] 保障的随机化分配实现。
• 采用一种转换机制，将具有有理概率的随机化分配转化为有限轮次内的离散分配序列。
• 通过展示存在 PO 与 EF 的分数分配可推出当重复次数可变时存在 PO 与 EF 的重复分配序列，建立与可分公平分配的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，存在一个整体无 envy 且帕累托最优的分配序列？
• RQ2 在重复分配中，能否在整体帕累托最优的前提下实现强轮次公平性保障（如 EF1 或至多一项物品的弱 envy 自由）？
• RQ3 当重复次数固定时，是否可能实现重复分配中的无 envy 与帕累托最优？
• RQ4 选择重复次数的能力如何影响实现强公平性与效率保障的可行性？
• RQ5 能否利用可分与不可分公平分配之间的联系，来构造具有期望性质的重复分配？

主要发现

• 当重复次数 $k$ 为参与人数 $n$ 的倍数时，始终存在一个比例公平且帕累托最优的分配序列。
• 对于 $n > 2$ 名参与者且固定 $k$ 不被 $n$ 整除的情形，整体比例公平分配可能不存在，表明倍数条件的必要性。
• 对于 $n > 2$ 名参与者及任意固定 $k$，存在 chore 分配实例，使得不存在无 envy 且帕累托最优的分配序列，表明存在根本性限制。
• 对于两名参与者且轮次为偶数的情形，始终存在一个整体无 envy 且帕累托最优的分配序列，且轮次内具有至多一项物品的弱 envy 自由。
• 在两轮情况下，轮次公平性保障可增强为至多一项物品的无 envy（EF1），且此类分配可在多项式时间内计算得出。
• 当重复次数 $k$ 可自由选择时，对于任意数量的参与者，始终存在一个无 envy、帕累托最优且轮次内满足 PROP[1,1] 的分配，该结果通过分数分配的随机化实现达成。