[论文解读] Representation Formulae and Monotonicity of the Generalized k-Bessel Functions

Saiful R. Mondal|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2016

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文引入广义 k-贝塞尔函数 $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,c}(x)$，推导其表示公式，证明其满足二阶微分方程，并建立其单调性与对数凸性性质。主要贡献在于利用积分表示和切比雪夫不等式，推导出 $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,-1}(x)$ 的 Turán 型不等式，包括 $\mathcal{I}_{\nu}^{\mathtt{k}}(x)$ 的反向不等式。

ABSTRACT

This paper introduces and studies a generalization of the $\mathtt{k}$-Bessel function of order $ν$ given by \[\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{ν, c}(x):= \sum_{r=0}^\infty \frac{(-c)^r}{Γ_{\mathtt{k}}\left( r \mathtt{k} +ν+\mathtt{k} ight) r!} \left(\frac{x}{2} ight)^{2r+\fracν{\mathtt{k}}}. \] Representation formulae are derived for $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{ν, c}.$ Further the function $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{ν, c}$ is shown to be a solution of a second order differential equation. Monotonicity and log-convexity properties for the generalized $\mathtt{k}$-Bessel function $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{ν, c}$ are investigated, particularly in the case $c=-1$. Several inequalities, including the Turán-type inequality are established.

研究动机与目标

• 通过 k-伽马函数推广经典贝塞尔函数与修正贝塞尔函数，引入广义 k-贝塞尔函数 $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,c}(x)$。
• 推导 $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,c}(x)$ 的积分公式与表示公式，包括递推关系。
• 证明 $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,c}(x)$ 满足二阶微分方程，推广经典贝塞尔方程与修正贝塞尔方程。
• 研究 $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,c}(x)$ 的单调性与对数凸性，特别是当 $c = -1$ 时，推导 Turán 型不等式。

提出的方法

• 通过包含 k-伽马函数 $\Gamma_{\mathtt{k}}(x)$ 的幂级数定义广义 k-贝塞尔函数，推广经典贝塞尔函数。
• 利用涉及 $\cos(\tfrac{xt}{\sqrt{\mathtt{k}}})$ 和 $\cosh(\tfrac{xt}{\sqrt{\mathtt{k}}})$ 的积分表示推导表示公式。
• 通过直接对级数求导，证明函数 $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,c}(x)$ 满足二阶微分方程。
• 通过证明级数中每一项在 $\nu$ 上均为对数凸函数，且对数凸函数的和仍为对数凸函数，从而证明对数凸性。
• 利用切比雪夫积分不等式推导 Turán 型不等式，应用于适当选取的函数 $f$、$g$ 与权函数 $q(t)$。
• 通过分析函数 $f(t) = (1-t^2)^{\nu/\mathtt{k} - 1/2}$ 与 $g(t) = (1-t^2)^{\nu/\mathtt{k} + 1/2}$ 在 $[0,1]$ 上的单调性，建立不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 k-伽马函数推广经典贝塞尔函数，以定义一类新的函数？
• RQ2 广义 k-贝塞尔函数 $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,c}(x)$ 满足何种微分方程？
• RQ3 对于固定的 $x > 0$ 与 $\mathtt{k} > 0$，广义 k-贝塞尔函数 $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,c}(x)$ 在 $\nu$ 上是否为对数凸函数？
• RQ4 能否为 $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,-1}(x)$ 建立 Turán 型不等式？其成立条件为何？
• RQ5 该函数的单调性与凸性性质如何随参数 $\nu$ 及 $c$ 的符号变化而变化？

主要发现

• 广义 k-贝塞尔函数 $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,c}(x)$ 满足一个二阶微分方程，当 $\mathtt{k} = 1$ 且 $c = \pm 1$ 时，该方程退化为经典贝塞尔方程与修正贝塞尔方程。
• $\mathtt{W}^{\mathtt{k}}_{\nu,-1}(x)$ 在 $\nu \in (-\mathtt{k}, \infty)$ 上对每个固定的 $x > 0$ 均为对数凸函数，这是由于其级数项的对数凸性所致。
• 对 $\mathcal{I}_{\nu}^{\mathtt{k}}(x)$ 成立反向 Turán 型不等式：$\left(\mathcal{I}_{\nu}^{\mathtt{k}}(x)\right)^2 - \mathcal{I}_{\nu-a}^{\mathtt{k}}(x)\mathcal{I}_{\nu+a}^{\mathtt{k}}(x) \leq 0$，当 $\nu \geq |a| - \mathtt{k}$ 时成立。
• 不等式 $\mathcal{I}_{\nu}^{\mathtt{k}}(x)\mathcal{I}_{\nu+\mathtt{k}/2}^{\mathtt{k}}(x) \leq \frac{\sqrt{\mathtt{k}}}{x}\sin\left(\frac{x}{\mathtt{k}}\right)\mathcal{I}_{2\nu+\mathtt{k}/2}^{\mathtt{k}}(x)$ 在 $\nu \in (-3\mathtt{k}/4, -\mathtt{k}/2] \cup [\mathtt{k}/2, \infty)$ 上成立。
• 当 $\nu \in (-\mathtt{k}/2, \mathtt{k}/2)$ 时，该不等式方向反转，且对涉及双曲余弦的余弦积分版本 $\mathcal{J}_{\nu}^{\mathtt{k}}(x)$ 有类似结论。