[论文解读] Representation Homology, Lie Algebra Cohomology and Derived Harish-Chandra Homomorphism

Yuri Berest, Giovanni Felder+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 35被引用 10

一句话总结

本文通过柯尔佐夫对偶性，建立了结合代数与李代数表示方案之间的深层同调对偶性，以及李代数（上）同调之间的关系，引入了导出哈里什-钱德拉同态作为广义经典表示理论的拟同构猜想。证明了导出表示方案的同调同构于当前李共代数的契瓦列夫-艾连伯格同调，为麦克唐纳恒等式提供了同调解释，并将经典哈里什-钱德拉限制映射推广至导出设定。

ABSTRACT

We study the derived representation scheme DRep_n(A) parametrizing the n-dimensional representations of an associative algebra A over a field of characteristic zero. We show that the homology of DRep_n(A) is isomorphic to the Chevalley-Eilenberg homology of the current Lie coalgebra gl_n^*(C) defined over a Koszul dual coalgebra of A. We extend this isomorphism to representation schemes of Lie algebras: for a finite-dimensional reductive Lie algebra g, we define the derived affine scheme DRep_g(a) parametrizing the representations (in g) of a Lie algebra a; we show that the homology of DRep_g(a) is isomorphic to the Chevalley-Eilenberg homology of the Lie coalgebra g^*(C), where C is a cocommutative DG coalgebra Koszul dual to the Lie algebra a. We construct a canonical DG algebra map Φ_g(a) : DRep_g(a)^G -> DRep_h(a)^W, which is a homological extension of the classical restriction homomorphism. We call Φ_g(a) a derived Harish-Chandra homomorphism. We conjecture that, for a two-dimensional abelian Lie algebra a, the derived Harish-Chandra homomorphism is a quasi-isomorphism, and provide some evidence for this conjecture. For any complex Lie algebra g, we compute the Euler characteristic of DRep_g(a)^G in terms of matrix integrals over G and compare it to the Euler characteristic of DRep_h(a)^W.This yields an interesting combinatorial identity, which we prove for gl_n and sl_n (for all n). Our identity is analogous to the classical Macdonald identity, and our quasi-isomorphism conjecture is analogous to the strong Macdonald conjecture proved by S.Fishel, I.Grojnowski and C.Teleman. We explain this analogy by giving a new homological interpretation of Macdonald's conjectures in terms of derived representation schemes, parallel to our Harish-Chandra quasi-isomorphism conjecture.

研究动机与目标

• 通过柯尔佐夫对偶性，阐明结合代数表示同调与李代数（上）同调之间的概念性关系。
• 通过新的同调构造，将经典哈里什-钱德拉限制映射推广至导出设定。
• 提出并提供证据支持一个猜想：当李代数为二维阿贝尔李代数时，导出哈里什-钱德拉同态是拟同构。
• 利用导出表示方案，为麦克唐纳猜想提供同调解释。
• 计算不变导出表示方案的欧拉示性数，并推导出类似于麦克唐纳恒等式的新型组合恒等式。

提出的方法

• 利用柯尔佐夫对偶性，将导出表示方案 $\mathrm{DRep}_n(A)$ 与当前李共代数 $\mathfrak{gl}_n^*(\bar{C})$ 的契瓦列夫-艾连伯格同调联系起来，其中 $\bar{C}$ 是代数 $A$ 的柯尔佐夫对偶共代数。
• 构造一个自然的DG代数映射 $\Phi_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a}) : \mathrm{DRep}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})^G \to \mathrm{DRep}_{\mathfrak{h}}(\mathfrak{a})^W$，称为导出哈里什-钱德拉同态，其为经典限制映射的推广。
• 应用李代数的导出表示方案理论，将 $\mathrm{DRep}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ 定义为参数化李代数 $\mathfrak{a}$ 的 $\mathfrak{g}$-表示的导出概形。
• 利用约化群 $G$ 上的矩阵积分，计算 $\mathrm{DRep}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})^G$ 的欧拉示性数，并与 $\mathrm{DRep}_{\mathfrak{h}}(\mathfrak{a})^W$ 的欧拉示性数进行比较。
• 通过将麦克唐纳猜想与导出表示方案及导出哈里什-钱德拉同态联系起来，建立其新的同调解释。
• 利用普遍不变的2-张量与余迹构造，定义一个迹映射 $\mathrm{Tr}_{\mathfrak{C}} : \mathrm{HC}_\bullet(\mathcal{P}, A) \to \mathrm{H}_\bullet(A, \mathfrak{C})$，该映射推广了循环同调与李理论中已知的迹映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 导出表示方案 $\mathrm{DRep}_n(A)$ 的同调与当前李代数的契瓦列夫-艾连伯格同调之间有何关系？
• RQ2 当 $\mathfrak{a}$ 为二维阿贝尔李代数时，导出哈里什-钱德拉同态 $\Phi_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ 是否为拟同构？
• RQ3 能否通过矩阵积分计算 $G$-不变导出表示方案 $\mathrm{DRep}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})^G$ 的欧拉示性数，并与 $W$-不变情形进行比较？
• RQ4 柯尔佐夫对偶性在连接表示同调与李（上）同调中起何精确作用？
• RQ5 在导出代数几何的背景下，导出哈里什-钱德拉同态如何推广经典哈里什-钱德拉限制映射？

主要发现

• 导出表示方案 $\mathrm{DRep}_n(A)$ 的同调同构于当前李共代数 $\mathfrak{gl}_n^*(\bar{C})$ 的契瓦列夫-艾连伯格同调，其中 $\bar{C}$ 是代数 $A$ 的柯尔佐夫对偶共代数，为 [BKR] 和 [BR] 中的结果提供了概念性解释。
• 对于有限维约化李代数 $\mathfrak{g}$，$\mathrm{DRep}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ 的同调同构于李共代数 $\mathfrak{g}^*(\bar{C})$ 的契瓦列夫-艾连伯格同调，其中 $\bar{C}$ 是李代数 $\mathfrak{a}$ 的柯尔佐夫对偶。
• 导出哈里什-钱德拉同态 $\Phi_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ 是从 $\mathrm{DRep}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})^G$ 到 $\mathrm{DRep}_{\mathfrak{h}}(\mathfrak{a})^W$ 的自然DG代数映射，推广了经典限制映射。
• 对于 $\mathfrak{a}$ 为二维阿贝尔李代数的情形，猜想 $\Phi_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})$ 是拟同构，该猜想得到了 $\mathfrak{gl}_2$、$\mathfrak{sl}_2$ 以及当 $n \to \infty$ 时 $\mathfrak{gl}_n$、$\mathfrak{sl}_n$、$\mathfrak{so}_n$ 和 $\mathfrak{sp}_{2n}$ 的归纳极限情形的证明支持。
• 对于任意复约化李代数 $\mathfrak{g}$，通过 $G$ 上的矩阵积分计算了 $\mathrm{DRep}_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{a})^G$ 的欧拉示性数，得到了一个类似于麦克唐纳恒等式的新型组合恒等式，该恒等式对 $\mathfrak{gl}_n$ 和 $\mathfrak{sl}_n$ 已得证明。
• 本文通过证明导出哈里什-钱德拉同态猜想与强麦克唐纳猜想类似，建立了麦克唐纳猜想的同调解释，新恒等式源于欧拉示性数的比较。