[论文解读] Representation homology of topological spaces

Yuri Berest, Ajay C. Ramadoss+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 45被引用 4

一句话总结

本文引入了拓扑空间的表示同调，作为表示簇的导出推广，结合单纯群上的导出函子与函子同调，建立了悬垂空间表示同调与高阶Hochschild同调之间的同构关系。一个关键贡献是将ℝ³中链的补集的表示同调识别为普通Hochschild同调，从而为链提供了一个新的代数不变量。

ABSTRACT

In this paper, we introduce and study representation homology of topological spaces, which is a natural homological extension of representation varieties of fundamental groups. We give an elementary construction of representation homology parallel to the Loday-Pirashvili construction of higher Hochschild homology; in fact, we establish a direct geometric relation between the two theories by proving that the representation homology of the suspension of a (pointed connected) space is isomorphic to its higher Hochschild homology. We also construct some natural maps and spectral sequences relating representation homology to other homology theories associated with spaces (such as Pontryagin algebras, $S^1$-equivariant homology of the free loop space and stable homology of automorphism groups of f.g. free groups). We compute representation homology explicitly (in terms of known invariants) in a number of interesting cases, including spheres, suspensions, complex projective spaces, Riemann surfaces and some 3-dimensional manifolds, such as link complements in $\R^3$ and the lens spaces $ L(p,q) $. In the case of link complements, we identify the representation homology in terms of ordinary Hochschild homology, which gives a new algebraic invariant of links in $\R^3$.

研究动机与目标

• 开发基本群表示簇的同调推广，解决其奇点问题，并拓展其在非双射空间中的应用局限。
• 通过导出函子与函子范畴，建立表示同调的几何与代数框架，受Loday-Pirashvili的高阶Hochschild同调构造启发。
• 将表示同调与其它同调理论（如Pontryagin代数、自由圈空间的S¹-等变同调、自由群自同构群的稳定同调）建立联系。
• 对关键空间（包括球面、悬垂空间、黎曼曲面及三维流形如透镜空间和链补集）进行表示同调的显式计算。
• 通过将链补集的表示同调与普通Hochschild同调相等，构造ℝ³中链的新代数不变量。

提出的方法

• 通过单纯群上的非交换导出函子定义表示同调，推广经典表示簇。
• 在函子范畴中使用经典同调代数提供等价表述，与Loday-Pirashvili构造高阶Hochschild同调的路径平行。
• 建立点连通空间悬垂空间的表示同调与高阶Hochschild同调之间的直接同构。
• 构造自然的谱序列与映射，将表示同调与自由圈空间的S¹-等变同调及Aut(Fn)的稳定同调联系起来。
• 利用模型范畴理论与Bousfield-Kan逼近，推导同伦余极限，并在左模型逼近的背景下建立导出函子。
• 将理论应用于具体空间的表示同调计算，包括S^n、ΣX、ℂP^n、黎曼曲面，以及透镜空间L(p,q)等三维流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将基本群的表示簇扩展为一种能捕捉更高同伦信息的同调理论？
• RQ2 表示同调与高阶Hochschild同调之间的确切关系是什么，特别是在悬垂空间情形下？
• RQ3 表示同调能否与其它经典同调理论（如Pontryagin代数或自由圈空间的S¹-等变同调）建立联系？
• RQ4 对球面、射影空间及三维流形等关键拓扑空间，表示同调的显式计算结果是什么？
• RQ5 ℝ³中链补集的表示同调是否能产生链的新代数不变量？如果是，其与Hochschild同调的关系如何？

主要发现

• 点连通空间悬垂空间的表示同调与高阶Hochschild同调同构，建立了两理论之间的直接几何联系。
• 对于ℝ³中链的补集，其表示同调同构于某特定代数的普通Hochschild同调，从而为链提供了新的代数不变量。
• 球面S^n与悬垂空间ΣX的表示同调已显式计算，其结果以已知不变量（包括Hochschild同调与导出函子）表达。
• 透镜空间L(p,q)的表示同调已显式计算，结果明确依赖于参数p与q。
• 黎曼曲面的表示同调已计算，并显示其与基本群几何及特征簇的关联。
• 构造了谱序列与自然映射，将表示同调与自由圈空间的S¹-等变同调及Aut(Fn)的稳定同调联系起来，揭示了更深层次的结构联系。