[论文解读] Representation stability, secondary stability, and polynomial functors

Jeremy Miller, Peter Patzt+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 40被引用 6

一句话总结

本文通过引入基于多项式函子和导出表示稳定性的框架，建立了具有多项式系数系统的群族的表示稳定性与二级同调稳定性。证明了多项式系数蕴含导出表示稳定性，从而为双曲映射类群、同余子群、微分同胚群以及球面谱的广义线性群提供了新的稳定性定理，并改进了稳定范围。

ABSTRACT

We prove a general representation stability result for polynomial coefficient systems which lets us prove representation stability and secondary homological stability for many families of groups with polynomial coefficients. This gives two generalizations of classical homological stability theorems with twisted coefficients. We apply our results to prove homological stability for hyperelliptic mapping class groups with twisted coefficients, prove new representation stability results for congruence subgroups, establish secondary homological stability for groups of diffeomorphisms of surfaces viewed as discrete groups, and improve the known stable range for homological stability for general linear groups of the sphere spectrum.

研究动机与目标

• 开发一个适用于多项式系数系统的表示稳定性和二级同调稳定性的通用框架。
• 证明多项式系数系统蕴含导出表示稳定性，从而在经典设定之外实现稳定性定理。
• 通过多项式性作为充分条件，将经典同调稳定性定理扩展至扭曲系数。
• 将该框架应用于新一类群，包括双曲映射类群和曲面的微分同胚群。
• 通过多项式函子改进 GL_n(𝕊)（球面谱的广义线性群）同调稳定性的稳定范围。

提出的方法

• 使用多项式函子和多项式系数系统来建模同调稳定性中的扭曲系数。
• 应用中心稳定性复形和柯尔祖尔解析来分析导出表示稳定性。
• 引入带有三重复形的谱序列论证，将同调稳定性与表示稳定性关联起来。
• 通过上同调技术和 Tor 计算，用多项式性替代导出表示稳定性的假设。
• 利用多项式性蕴含导出表示稳定性的事实，简化谱序列。
• 在等变同伦论中使用锥构造来度量稳定性，并将其适配至表示论设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 多项式系数系统是否能确保在具有群作用的群族中实现导出表示稳定性？
• RQ2 系数的多项式性是否足以建立扭曲同调下的表示稳定性和二级同调稳定性？
• RQ3 如何简化带有多项式系数的谱序列以证明稳定性定理？
• RQ4 该框架能否应用于具有扭曲系数的双曲映射类群和同余子群？
• RQ5 通过多项式函子，能否在 GL_n(𝕊) 的同调稳定性中实现稳定范围的改进？

主要发现

• 多项式系数系统蕴含导出表示稳定性，为扭曲设定下的表示稳定性提供了充分条件。
• 该框架证明了具有多项式系数的同余子群的表示稳定性，扩展了已知结果。
• 在将曲面微分同胚群视为离散群时，建立了其二级同调稳定性。
• 通过多项式函子，改进了 GL_n(𝕊) 的同调稳定性，获得了更优的稳定范围。
• 在多项式性条件下，谱序列收敛于零，从而通过简化的 E^1 页实现新的稳定性定理。
• 该方法通过多项式性将经典同调稳定性定理推广至包含扭曲系数的情形，统一了多种稳定性现象。