[论文解读] Representation theory of W-algebras, II: Ramond twisted representations

Tomoyuki Arakawa|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用 3

一句话总结

该论文在 f 允许良好偶数分次时，确立了仿射 W-代数 𝒲ᵏ(ℊ̄,f) 的 Ramond 扭曲表示的 BRST 上同调的消失性与近乎不可约性，证实了 Kac 与 Wakimoto 的猜想。在 A 型情形下，确定了所有非临界水平下不可约普通 Ramond 扭曲表示的特征标，并证明了如 [KW5] 所猜想的模不变表示的存在性。

ABSTRACT

We study the Ramond twisted representations of the affine W-algebra W^k(g,f) in the case that f admits a good even grading. We establish the vanishing and the almost irreducibility of the corresponding BRST cohomology. This confirms some of the recent conjectures of Kac and Wakimoto. In type A, our results give the characters of all irreducible ordinary Ramond twisted representations of W^k(sl_n,f) for all nilpotent elements f and all non-critical k, and prove the existence of modular invariant representations conjectured by Kac and Wakimoto.

研究动机与目标

• 研究当 f 允许良好偶数分次时，仿射 W-代数 𝒲ᵏ(ℊ̄,f) 的 Ramond 扭曲表示。
• 在该设定下，确立 BRST 上同调的消失性与近乎不可约性。
• 证实 Kac 与 Wakimoto [KW5] 的猜想 B 关于 BRST 上同调函子的结构。
• 确定 𝒲ᵏ(𝔰𝔩ₙ,f) 在非临界水平 k 下所有不可约普通 Ramond 扭曲表示的特征标。
• 证明如 [KW5] 所猜想的 𝒲ᵏ(𝔰𝔩ₙ,f) 的模不变表示的存在性。

提出的方法

• 利用从仿射 Kac-Moody 代数 𝔤 在水平 k 上的表示到 𝒲ᵏ(ℊ̄,f) 的 Ramond 扭曲表示的 BRST 上同调函子 H⁰ᴮᴿˢᵀ(⋅)。
• 使用对 BRST 复形的过滤构造谱序列，该过滤与顶点代数的 σᴿ-扭作用相容。
• 依赖于 BRST 上同调的上部与有限 W-代数 𝒲ᶠⁱⁿ(ℊ̄,f) 的 Whittaker 函子之间的同构关系。
• 运用对偶性与 PBW 型同构分析谱序列的 E¹ 与 E∞ 页。
• 利用谱序列在 p+q≠0 时于 E¹ 页退化，从而推出非零度上同调的消失性。
• 应用 Brundan 与 Kleshchev 在 A 型情形下关于有限 W-代数的结果，从近乎不可约性推导出不可约性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 f 允许良好偶数分次时，对于 𝒲ᵏ(ℊ̄,f) 的 Ramond 扭曲表示，BRST 上同调 H⁰ᴮᴿˢᵀ(M) 是否在非零度上消失？
• RQ2 当上部在顶点代数的 Zhu 代数上不可约时，BRST 上同调是否近乎不可约？
• RQ3 在 A 型中，主赋值表示 L(λ) 的 H⁰ᴮᴿˢᵀ(L(λ)) 的欧拉-庞加莱特征标是否为模不变函数？
• RQ4 是否可以通过 𝔤 的最高权模的 BRST 归约来确定 𝒲ᵏ(𝔰𝔪ₙ,f) 的所有不可约普通 Ramond 扭曲表示的特征标？
• RQ5 如 Kac 与 Wakimoto 所猜想，具有模不变特征标的表示是否实际上就是不可约的 Ramond 扭曲表示？

主要发现

• 当 M 为对偶 Verma 模 M₀(λ)* 时，所有 n≠0 的 BRST 上同调 Hⁿᴮᴿˢᵀ(M) 消失，确认了谱序列分析中的消失性质。
• BRST 上同调 H⁰ᴮᴿˢᵀ(M₀(λ)*) 近乎不可约，且在 A 型中，由于有限 W-代数的 Whittaker 函子结构，这蕴含了不可约性。
• 在 A 型中，𝒲ᵏ(𝔰𝔩ₙ,f) 的每个不可约普通 Ramond 扭曲表示的特征标，由 𝔤 的相应最高权模 L(λ) 的特征标确定，前提是 k 不是临界水平。
• 主赋值表示 L(λ) 的 H⁰ᴮᴿˢᵀ(L(λ)) 的欧拉-庞加莱特征标是模不变的，证实了 [KW5] 中所猜想的此类表示的存在性。
• BRST 上同调的上部同构于有限 W-代数 𝒲ᶠⁱⁿ(ℊ̄,f) 的 Whittaker 模，从而将 BRST 上同调的研究简化为有限 W-代数的表示理论。
• 在 A 型中，𝒲ᵏ(𝔰𝔩ₙ,f) 的每个不可约普通 Ramond 扭曲表示均作为某个 𝔤 的不可约最高权模 L(λ) 的 H⁰ᴮᴿˢᵀ(L(λ)) 而出现。