[论文解读] Representations of C*-dynamical systems implemented by Cuntz families

Evgenios T. A. Kakariadis, Justin R. Peters|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 35被引用 22

一句话总结

本文通过Cuntz族的表示，研究了C*-动力系统$(A,\alpha)$相关的非自伴算子代数，证明了代数$A_{\text{nd}}\times_{\alpha}^{t}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$的C*-包络是扭曲交叉积$A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$的一个全角，为$n>1$时提供了Stacey结果的非自同构类比。该工作通过证明当$n>1$且$\alpha$不是自同构时，Stacey交叉积到扭曲交叉积的典范*$-满同态并非单射，从而填补了关键空白。

ABSTRACT

Given a dynamical system $(A,\al)$ where $A$ is a unital $\ca$-algebra and $\al$ is a (possibly non-unital) *-endomorphism of $A$, we examine families $(π,\{T_i\})$ such that $π$ is a representation of $A$, $\{T_i\}$ is a Toeplitz-Cuntz family and a covariance relation holds. We compute a variety of non-selfadjoint operator algebras that depend on the choice of the covariance relation, along with the smallest $\ca$-algebra they generate, namely the $\ca$-envelope. We then relate each occurrence of the $\ca$-envelope to (a full corner of) an appropriate twisted crossed product. We provide a counterexample to show the extent of this variety. In the context of $\ca$-algebras, these results can be interpreted as analogues of Stacey's famous result, for non-automorphic systems and $n>1$. Our study involves also the one variable generalized crossed products of Stacey and Exel. In particular, we refine a result that appears in the pioneering paper of Exel on (what is now known as) Exel systems.

研究动机与目标

• 将Stacey的$n$重交叉积结果推广至$n>1$时的非自同构*$-自同态情形，其中原始同构关系不成立。
• 研究由满足协变关系的$A$和Toeplitz-Cuntz族生成的非自伴算子代数的C*-包络。
• 通过全角关系将C*-包络与扭曲交叉积$A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$联系起来，特别针对非自同构情形。
• 澄清普遍C*-代数$A\times_{\alpha}^{n}\mathbb{N}$与非自伴代数$A_{\text{nd}}\times_{\alpha}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$的C*-包络之间的区别，证明二者并非同构。

提出的方法

• 定义两个非自伴算子代数：$A_{\text{nd}}\times_{\alpha}^{t}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$与$A_{\text{nd}}\times_{\alpha}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$，作为满足涉及Cuntz族$\{T_i\}$与$A$的表示$\pi$的协变关系的普遍代数。
• 利用Arveson的C*-包络程序，识别由这些非自伴代数生成的最小C*-代数。
• 构造从Stacey的普遍C*-代数$A\times_{\alpha}^{n}\mathbb{N}$到扭曲交叉积$A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$的典范*$-满同态，并通过反例证明其非单射性。
• 证明$A_{\text{nd}}\times_{\alpha}^{t}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$的C*-包络是$A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$的一个全角，将Stacey的结果推广至非自同构系统。
• 利用$\ell^1$稠密子代数$\ell^1(A,\alpha,\mathbb{F}_n^+)$上的傅里叶变换，证明其嵌入到$A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$中是完全有界但非完全等距的。
• 通过分析理想结构与Šilov理想，确认C*-包络是最小的，并且等距地反映了非自伴代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$\alpha$不是自同构且$n>1$时，Stacey交叉积$A\times_{\alpha}^{n}\mathbb{N}$到扭曲交叉积$A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$的典范*$-满同态是否为单射？
• RQ2 非自伴代数$A_{\text{nd}}\times_{\alpha}^{t}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$的C*-包络能否被实现为扭曲交叉积的一个全角？
• RQ3 非自伴代数$A_{\text{nd}}\times_{\alpha}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$的C*-包络是否与Stacey的普遍C*-代数$A\times_{\alpha}^{n}\mathbb{N}$重合？
• RQ4 非自伴代数$A_{\text{nd}}\times_{\alpha}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$到$A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$的典范嵌入是否为完全等距？
• RQ5 $\ell^1$稠密子代数$\ell^1(A,\alpha,\mathbb{F}_n^+)$与非自伴代数$A_{\text{nd}}\times_{\alpha}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$的C*-包络之间有何关系？

主要发现

• 代数$A_{\text{nd}}\times_{\alpha}^{t}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$的C*-包络同构于扭曲交叉积$A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$的一个全角，为$n>1$时提供了Stacey结果的非自同构推广。
• 当$n>1$且$\alpha$不是自同构时，典范*$-满同态$A\times_{\alpha}^{n}\mathbb{N} \to A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$非单射，反例表明$S_1^*S_1S_2$不为零。
• $A_{\text{nd}}\times_{\alpha}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$的C*-包络同构于$A\times_{\alpha}^{n}\mathbb{N}$，确认普遍C*-代数是生成该非自伴代数的最小C*-代数。
• 非自伴代数$A_{\text{nd}}\times_{\alpha}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$到$A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$的典范嵌入是完全有界但非完全等距的，意味着C*-包络严格小于其像。
• $\ell^1$稠密子代数$\ell^1(A,\alpha,\mathbb{F}_n^+)$允许傅里叶变换，并可单射地嵌入到$A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$中，但该嵌入非完全等距。
• $A_{\text{nd}}\times_{\alpha}^{t}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$与$A_{\text{nd}}\times_{\alpha}\mathcal{T}_{n}^{\!+}$的C*-包络不同构，前者在$A_{\infty}\rtimes_{\alpha_{\infty}}\mathcal{O}_{n}$中具有全角，而后者则没有。