[论文解读] Representations of Quivers over F1

Matthew Szczesny|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文引入了在虚构的单元素域 $\mathbb{F}_1$ 上的箭图表示的范畴，记为 $\operatorname{Rep}(\operatorname{Q},\mathbb{F}_1)$，该范畴继承了核、余核和直和等关键代数结构。本文构造了该范畴的 Hall 代数 $\mathbf{H}_{\operatorname{Q}}$，并证明存在一个霍普夫代数同态 $\rho' : \operatorname{U}(\mathfrak{n}_+) \to \mathbf{H}_{\operatorname{Q}}$，表明 $\mathbf{H}_{\operatorname{Q}}$ 同构于与箭图 $\operatorname{Q}$ 关联的基域 Kac-Moody 代数的幂零部分的泛包络代数，从而实现了 Hall 代数在 $q=1$ 极限下的实现。

ABSTRACT

We define and study the category $\RepQ$ of representations of a quiver in $\VFun$ - the category of vector spaces "over $\Fun$". $\RepQ$ is an $\Fun$-linear category possessing kernels, co-kernels, and direct sums. Moreover, $\RepQ$ satisfies analogues of the Jordan-Hölder and Krull-Schmidt theorems. We are thus able to define the Hall algebra $\HQ$ of $\RepQ$, which behaves in some ways like the specialization at $q=1$ of the Hall algebra of $\on{Rep}(\Q, \mathbf{F}_q)$. We prove the existence of a Hopf algebra homomorphism of $ ρ': \U( _+) ightarrow \HQ$, from the enveloping algebra of the nilpotent part $ _+$ of the Kac-Moody algebra with Dynkin diagram $\bar{\Q}$ - the underlying unoriented graph of $\Q$. We study $ρ'$ when $\Q$ is the Jordan quiver, a quiver of type $A$, the cyclic quiver, and a tree respectively.

研究动机与目标

• 为了通过将 $\operatorname{Rep}(\operatorname{Q},\mathbb{F}_1)$ 定义为具有良好范畴结构的范畴，发展在 $\mathbb{F}_1$ 上的箭图表示理论。
• 确立 $\operatorname{Rep}(\operatorname{Q},\mathbb{F}_1)$ 满足 Jordan-Hölder 定理与 Krull-Schmidt 定理的类比，从而支持 Hall 代数的构造。
• 定义 $\operatorname{Rep}(\operatorname{Q},\mathbb{F}_1)$ 的 Hall 代数 $\mathbf{H}_{\operatorname{Q}}$，并证明其具有分次霍普夫代数结构。
• 证明存在一个霍普夫代数同态 $\rho' : \operatorname{U}(\mathfrak{n}_+) \to \mathbf{H}_{\operatorname{Q}}$，其中 $\mathfrak{n}_+$ 是与箭图 $\operatorname{Q}$ 的基础图相关联的 Kac-Moody 代数的幂零部分。

提出的方法

• 将 $\operatorname{Vect}(\mathbb{F}_1)$ 定义为以部分双射为态射的带基点集合的范畴，以建模 $\mathbb{F}_1$ 上的向量空间。
• 将 $\operatorname{Rep}(\operatorname{Q},\mathbb{F}_1)$ 构造为在 $\operatorname{Vect}(\mathbb{F}_1)$ 中的箭图表示范畴，为顶点分配带基点集合，为边分配部分双射。
• 将 Hall 代数 $\mathbf{H}_{\operatorname{Q}}$ 定义为 $\operatorname{Rep}(\operatorname{Q},\mathbb{F}_1)$ 的同构类上具有紧支集的复值函数空间，配备卷积积，以编码扩张结构。
• 通过 $\Delta(f)([M],[N]) = f([M \oplus N])$ 为 $\mathbf{H}_{\operatorname{Q}}$ 赋予一个余乘法，使其成为分次连通的余交换双代数。
• 应用 Milnor-Moore 定理，得出 $\mathbf{H}_{\operatorname{Q}} \simeq \operatorname{U}(\mathfrak{n}_{\operatorname{Q}})$，其中 $\mathfrak{n}_{\operatorname{Q}}$ 是原代数的原始元素的李代数。
• 构造一个显式的李代数同构 $\psi: \mathfrak{a}_+ \to \mathfrak{n}_{\operatorname{Q}}$，其中 $\mathfrak{a}_+$ 是某些关联结构的李代数，以证明 $\mathbf{H}_{\operatorname{Q}} \simeq \operatorname{U}(\mathfrak{a}_+)$，从而得出 $\mathbf{H}_{\operatorname{Q}} \simeq \operatorname{U}(\mathfrak{n}_+)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\operatorname{Vect}(\mathbb{F}_1)$ 中缺乏加法结构的前提下，能否发展出在 $\mathbb{F}_1$ 上的箭图表示的有意义理论？
• RQ2 $\operatorname{Rep}(\operatorname{Q},\mathbb{F}_1)$ 范畴是否支持核、余核和直和等范畴构造，且 Jordan-Hölder 定理与 Krull-Schmidt 定理的类比是否成立？
• RQ3 能否定义 $\operatorname{Rep}(\operatorname{Q},\mathbb{F}_1)$ 的 Hall 代数 $\mathbf{H}_{\operatorname{Q}}$，并证明其具有霍普夫代数结构？
• RQ4 是否存在从与 $\overline{\operatorname{Q}}$ 关联的 Kac-Moody 代数的幂零部分的泛包络代数 $\operatorname{U}(\mathfrak{n}_+)$ 到 $\mathbf{H}_{\operatorname{Q}}$ 的自然同态？
• RQ5 Hall 代数 $\mathbf{H}_{\operatorname{Q}}$ 的精确代数结构是什么，它如何与 Hall 代数在 $q=1$ 极限下的已知李代数相关联？

主要发现

• 范畴 $\operatorname{Rep}(\operatorname{Q},\mathbb{F}_1)$ 是一个具有核、余核和直和的 $\mathbb{F}_1$-线性范畴，且满足 Jordan-Hölder 定理与 Krull-Schmidt 定理的类比。
• $\operatorname{Rep}(\operatorname{Q},\mathbb{F}_1)$ 的 Hall 代数 $\mathbf{H}_{\operatorname{Q}}$ 是一个分次连通的余交换双代数，因此是霍普夫代数，根据 Milnor-Moore 定理由 $\mathbf{H}_{\operatorname{Q}} \simeq \operatorname{U}(\mathfrak{n}_{\operatorname{Q}})$ 得出。
• 存在一个霍普夫代数同态 $\rho' : \operatorname{U}(\mathfrak{n}_+) \to \mathbf{H}_{\operatorname{Q}}$，其中 $\mathfrak{n}_+$ 是与箭图 $\operatorname{Q}$ 的基础无向图 $\overline{\operatorname{Q}}$ 关联的 Kac-Moody 代数的幂零部分。
• 对于 Jordan 箭图，有 $\mathbf{H}_{\operatorname{Q}} \simeq \operatorname{U}(\mathfrak{a}_+)$，且李代数 $\mathfrak{a}_+$ 同构于 $\mathfrak{n}_{\operatorname{Q}}$，这意味着 $\mathbf{H}_{\operatorname{Q}} \simeq \operatorname{U}(\mathfrak{n}_+)$。
• $\rho'$ 是单射，且 $\rho: \operatorname{U}(\mathfrak{b}') \to \widetilde{\mathbf{H}}_{\operatorname{Q}}$ 也是单射，确认了 $\mathbf{H}_{\operatorname{Q}}$ 与 $\operatorname{U}(\mathfrak{n}_+)$ 之间深层的结构联系。
• Hall 代数 $\mathbf{H}_{\operatorname{Q}}$ 同构于李代数 $\mathfrak{a}_+$ 的泛包络代数，该李代数由偏序集中区间关联结构构造而成，且该同构诱导出至 $\operatorname{U}(\mathfrak{n}_+)$ 所需的映射。