[论文解读] Representative sets and irrelevant vertices: New tools for kernelization

Stefan Kratsch, Magnus Wahlström|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 38被引用 4

一句话总结

本文首次将拟阵理论中的代表性集合应用于参数复杂性中的基础问题，实现了多项式内核化。通过利用Lovász和Marx的代表性集合引理，作者提出了一种识别图割问题中无关顶点的方法，从而首次为Almost 2-SAT问题获得多项式内核，并为具有s个终端的Multiway Cut问题获得大小为O(ks+1)的内核，显著推进了NP难问题内核化技术的发展。

ABSTRACT

The existence of a polynomial kernel for Odd Cycle Transversal was a notorious open problem in parameterized complexity. Recently, this was settled by the present authors (Kratsch and Wahlström, SODA 2012), with a randomized polynomial kernel for the problem, using matroid theory to encode flow questions over a set of terminals in size polynomial in the number of terminals. In the current work we further establish the usefulness of matroid theory to kernelization by showing applications of a result on representative sets due to Lovász (Combinatorial Surveys 1977) and Marx (TCS 2009). We show how representative sets can be used to give a polynomial kernel for the elusive Almost 2-SAT problem. We further apply the representative sets tool to the problem of finding irrelevant vertices in graph cut problems, i.e., vertices which can be made undeletable without affecting the status of the problem. This gives the first significant progress towards a polynomial kernel for the Multiway Cut problem; in particular, we get a kernel of O(k^{s+1}) vertices for Multiway Cut instances with at most s terminals. Both these kernelization results have significant spin-off effects, producing the first polynomial kernels for a range of related problems. More generally, the irrelevant vertex results have implications for covering min-cuts in graphs. For a directed graph G=(V,E) and sets S, T \subseteq V, let r be the size of a minimum (S,T)-vertex cut (which may intersect S and T). We can find a set Z \subseteq V of size O(|S|*|T|*r) which contains a minimum (A,B)-vertex cut for every A \subseteq S, B \subseteq T. Similarly, for an undirected graph G=(V,E), a set of terminals X \subseteq V, and a constant s, we can find a set Z\subseteq V of size O(|X|^{s+1}) which contains a minimum multiway cut for any partition of X into at most s pairwise disjoint subsets.

研究动机与目标

• 解决Almost 2-SAT问题长期存在的多项式内核化开放问题。
• 开发一种新方法，用于识别图割问题中的无关顶点，以实现高效的内核化。
• 将拟阵理论工具——特别是代表性集合——的应用范围扩展到参数复杂性中的内核化。
• 为具有常数个终端的Multiway Cut问题提供首个多项式内核。
• 构建包含所有相关终端划分下最小(A,B)-顶点割和多路割的较小割覆盖集合。

提出的方法

• 应用拟阵理论中的代表性集合引理（Lovász和Marx）来识别那些在不影响解的情况下可被设为不可删除的顶点。
• 在多层结构中构建一个gammoid结构，以编码潜在割的可达性和饱和条件。
• 利用可交换集合的代表性集合，高效捕获必须位于每个最小割中的关键顶点。
• 设计一种随机化规约规则，选择一个大小较小的顶点集Z，使其包含任何将终端划分为至多s个子集的划分下的所有最小割。
• 将内核化过程形式化为基于拟阵表示和代表性集合的无关顶点论证。
• 将随机化构造的失败概率降低至输入大小n的指数级小。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用拟阵理论中的代表性集合来为参数复杂性中的NP难问题构造多项式内核？
• RQ2 是否可以利用代表性集合识别并移除图割问题中的无关顶点，以实现内核化？
• RQ3 该技术能否应用于实现Almost 2-SAT问题的多项式内核？
• RQ4 能否计算出一个大小较小的顶点集合，使其包含图中所有终端子集A,B的最小(A,B)-顶点割？
• RQ5 能否使用类似的构造来覆盖所有将终端划分为至多s个部分的最小多路割？

主要发现

• 本文首次为Almost 2-SAT问题提供了多项式内核，解决了内核化领域的一个重大开放问题。
• 对于具有s个终端的Multiway Cut问题，获得了大小为O(ks+1)的内核，标志着该问题向多项式内核迈出的首次重大进展。
• 开发了一种随机化多项式时间算法，可计算出大小为O(|X|s+1)的集合Z，使其包含任何将终端划分为至多s个不相交子集的划分下的最小多路割。
• 对于任意有向图G及顶点集S,T ⊆V，可在随机化多项式时间内计算出大小为O(|S|·|T|·r)的集合Z，使其包含所有A⊆S, B⊆T的最小(A,B)-顶点割。
• 该方法使基于规约规则的内核化适用于所有覆盖的问题，与此前Odd Cycle Transversal问题中使用的间接压缩方法形成对比。
• 随机化构造的失败概率在输入大小n下呈指数级小，确保了高度可靠性。