[论文解读] Representing multipliers of the Fourier algebra on non-commutative $L^p$ spaces

Matthew Daws|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|Jun 28, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 30被引用 6

一句话总结

本文在与局部紧群 $ G $ 的右冯诺依曼代数相关的非交换 $ L^p $ 空间的直和上，构建了完全有界的乘子代数 $ M_{cb}A(G) $ 的典范等距表示。它证明了 $ A_2(\hat{G}) $ 等距同构于 $ L^1(G) $，推广了阿贝尔情形，并引入了一种新的菲加-塔拉曼卡–赫兹型代数 $ A_p(\hat{G}) $，该代数由这些空间构成，证明其包含 $ C^*_\lambda(G) $ 的一个稠密子代数。

ABSTRACT

We show that the multiplier algebra of the Fourier algebra on a locally compact group $G$ can be isometrically represented on a direct sum on non-commutative $L^p$ spaces associated to the right von Neumann algebra of $G$. If these spaces are given their canonical Operator space structure, then we get a completely isometric representation of the completely bounded multiplier algebra. We make a careful study of the non-commutative $L^p$ spaces we construct, and show that they are completely isometric to those considered recently by Forrest, Lee and Samei; we improve a result about module homomorphisms. We suggest a definition of a Figa-Talamanca--Herz algebra built out of these non-commutative $L^p$ spaces, say $A_p(\hat G)$. It is shown that $A_2(\hat G)$ is isometric to $L^1(G)$, generalising the abelian situation.

研究动机与目标

• 在与群 $ G $ 的右冯诺依曼代数相关的非交换 $ L^p $ 空间上，构建傅里叶代数 $ A(G) $ 的乘子代数的典范等距表示。
• 通过非交换 $ L^p $ 空间和复插值，将庞特里亚金与杨的对偶性框架推广至非阿贝尔群。
• 定义并研究一种由这些非交换 $ L^p $ 空间构建的新菲加-塔拉曼卡–赫兹型代数 $ A_p(\hat{G}) $。
• 证明 $ A_2(\hat{G}) $ 在典范等距下同构于 $ L^1(G) $，推广了阿贝尔情形。
• 证明对于 $ 1 < p < \infty $，$ A_p(\hat{G}) $ 包含一个稠密子集，该子集构成 $ C^*_\lambda(G) $ 的子代数。

提出的方法

• 使用复插值构造与群 $ G $ 的右冯诺依曼代数相关的非交换 $ L^p $ 空间 $ L^p(\hat{G}) $，利用权函数和对偶群结构。
• 在直和 $ E = \bigoplus_{n} L^{p_n}(\hat{G}) $ 上赋予 $ \ell^2 $-范数和当 $ p_n \to 1 $ 时的典范算子空间结构。
• 通过左正则表示和 intertwining 算子 $ K $，在 $ \mathcal{B}(E) $ 上定义 $ A(G) \otimes_{\gamma} A(G) $ 的表示 $ \pi^p_* $，该算子将 $ L^2(G) $ 与 $ L^2(\hat{G}) $ 联系起来。
• 证明 $ \pi^p_* $ 的像与 $ A_p(\hat{G}) $ 一致，且 $ \pi^p_* $ 是等距且弱*-弱*连续的。
• 利用 $ E $ 上的算子空间结构，定义 $ M_{cb}A(G) $ 的完全有界表示，证明其为完全等距且弱*-弱*连续。
• 通过在 $ C_{00}(G)^2 $ 上使用卷积和紧支集论证，构造元素，证明 $ A_p(\hat{G}) $ 包含 $ C^*_\lambda(G) $ 的稠密子代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在与 $ VN(G) $ 相关的非交换 $ L^p $ 空间的直和上，对乘子代数 $ MA(G) $ 实现等距表示？
• RQ2 是否存在一种自然的非阿贝尔群的菲加-塔拉曼卡–赫兹代数 $ A_p(G) $ 的推广，通过非交换 $ L^p $ 空间定义？
• RQ3 在典范等距下，$ A_2(\hat{G}) $ 是否与 $ L^1(G) $ 重合，从而推广阿贝尔情形？
• RQ4 代数 $ A_p(\hat{G}) $ 本身是否为巴拿赫代数，或仅为 $ C^*_\lambda(G) $ 的稠密子代数？
• RQ5 能否将 $ L^p(\hat{G}) $ 上的模作用实现为函数的逐点乘法，且这些空间是否与 [10] 中的空间完全等距？

主要发现

• 乘子代数 $ MA(G) $ 允许在 $ \ell^2 $-直和 $ E = \bigoplus_n L^{p_n}(\hat{G}) $ 上存在弱*-弱*连续的等距表示，其中 $ p_n \to 1 $。
• 当 $ E $ 装备有典范算子空间结构时，$ M_{cb}A(G) $ 完全等距且弱*-弱*连续地嵌入 $ \mathcal{CB}(E) $。
• $ A_2(\hat{G}) $ 在典范等距下同构于 $ L^1(G) $，且 $ A_2(\hat{G}) $ 上的商范数与 $ \lambda(L^1(G)) $ 上的 $ L^1 $-范数一致。
• $ A_p(\hat{G}) $ 包含一个稠密子集，该子集构成 $ C^*_\lambda(G) $ 的子代数，该子代数通过在 $ C_{00}(G)^2 $ 上使用卷积和支集控制构造而成。
• 通过复插值构造的非交换 $ L^p(\hat{G}) $ 空间与福雷斯特、李和萨梅伊所定义的空间完全等距，改进了他们在模同态方面的结果。
• 该构造为将 [10] 中的上同调结果推广至所有 $ p \in (1,\infty) $ 提供了自然框架，而不仅限于 $ p \geq 2 $。