[论文解读] Residual Diffusivity in Elephant Random Walk Models with Stops

Jiancheng Lyu, Jack Xin+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文引入了一种带有小概率对称步长（停顿）的扰动大象随机游走模型，用于研究亚扩散系统中的剩余扩散性。通过在一维和二维情况下解析推导出前两阶矩的精确渐近行为，证明即使在扰动趋于零的极限下（$ϵ \downarrow 0$），有效扩散系数仍严格为正，从而确认了在楔形参数区域内的剩余扩散性。

ABSTRACT

We study the enhanced diffusivity in the so called elephant random walk model with stops (ERWS) by including symmetric random walk steps at small probability $ε$. At any $ε> 0$, the large time behavior transitions from sub-diffusive at $ε= 0$ to diffusive in a wedge shaped parameter regime where the diffusivity is strictly above that in the un-perturbed ERWS model in the $ε\downarrow 0$ limit. The perturbed ERWS model is shown to be solvable with the first two moments and their asymptotics calculated exactly in both one and two space dimensions. The model provides a discrete analytical setting of the residual diffusion phenomenon known for the passive scalar transport in chaotic flows (e.g. generated by time periodic cellular flows and statistically sub-diffusive) as molecular diffusivity tends to zero.

研究动机与目标

• 建模并分析模拟混沌流体流动的离散随机过程中的剩余扩散性。
• 研究小概率对称随机游走步长（停顿）如何在大象随机游走模型中诱导从亚扩散到扩散行为的转变。
• 通过解析方法证明在扰动强度趋于零的极限下（$\\epsilon \\downarrow 0$），有效扩散系数仍严格为正，从而证实剩余扩散性。
• 将分析从一维推广至二维，并确认在高维情况下剩余扩散性依然存在。

提出的方法

• 引入一种带有小概率 $\epsilon$ 的扰动大象随机游走模型，即在每个时间步长以概率 $\epsilon$ 执行对称步长（0）。
• 定义转移机制：游走者以概率 $p$ 重复过去某一步，以概率 $q$ 反转该步，以概率 $r$ 停留原地。
• 利用条件期望和递推关系，推导出位置一阶和二阶矩的精确表达式。
• 应用伽马函数的渐近分析，推导出二阶矩 $\\langle |X_t|^2 \\rangle$ 的大时间行为。
• 通过引入向量步长和矩阵形式的漂移与扩散分量，将一维模型推广至二维。
• 利用伽马函数的性质求解所得的矩方程，推导出 $\\langle |X_t|^2 \\rangle$ 关于参数 $\epsilon$、$r$、$\gamma$ 和 $\gamma'$ 的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在大象随机游走模型中引入小概率对称步长是否会导致从亚扩散到扩散行为的转变？
• RQ2 在可解的离散模型中，即使扰动强度 $\\epsilon \to 0$，是否仍能解析地证明剩余扩散性？
• RQ3 在扰动模型中，二阶矩 $\\langle |X_t|^2 \\rangle$ 的渐近行为如何？与未扰动情况相比有何差异？
• RQ4 在二维情况下，剩余扩散性效应是否具有鲁棒性？它是否在 $(r, \gamma)$ 平面的楔形参数区域内持续存在？

主要发现

• 在 $\epsilon \downarrow 0$ 极限下，二阶矩 $\\langle |X_t|^2 \\rangle$ 的渐近增长呈时间线性，且其斜率严格大于未扰动大象随机游走模型的斜率。
• 在扰动模型中，有效扩散系数在 $\epsilon \downarrow 0$ 的极限下仍严格为正，从而证实了剩余扩散性。
• 在 $(r, \gamma)$ 参数平面上存在一个楔形区域，在该区域内，增强的扩散性在 $\epsilon = 0$ 极限下超过未扰动扩散性。
• 二维模型表现出与一维模型相同的剩余扩散性行为，且二阶矩的渐近标度一致。
• 通过伽马函数推导出 $\\langle |X_t|^2 \\rangle$ 的显式公式，表明 $\\langle |X_t|^2 \\rangle = \frac{\epsilon}{(1 - 2\gamma)(\epsilon + r)}t + \text{低阶项}$。
• 当 $\gamma \to 1/2$ 时，$t$ 的线性项系数在 $\epsilon \downarrow 0$ 时发散，表明扩散区存在临界转变。