[论文解读] Resolutions with conical slices and descent for the Brauer group classes of certain central reductions of differential operators in characteristic $p$

Dmitry Kubrak, Roman Travkin|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 35被引用 3

一句话总结

本文研究了在正特征下，奇异点的解析的晶态微分算子的中心化约化所关联的布劳尔群类的下降性质。它引入了‘具有圆锥形截面的解析’这一新类——即具有收缩纤维至一点的 $\mathbb{G}_m$-作用的辛解析——并证明对于此类解析，类 $[\mathcal{D}_{X,\alpha}]$ 在特征 $p$ 下全局下降至基流形 $Y^{(1)}$，推广了早期的 étale 局部下降结果。

ABSTRACT

For a smooth variety $X$ over an algebraically closed field of characteristic $p$, to a differential 1-form $α$ on the Frobenius twist $X^{(1)}$ one can associate an Azumaya algebra $\mathcal D_{X,α}$, defined as a certain central reduction of the algebra $\mathcal D_X$ of "crystalline differential operators" on $X$. For a resolution of singularities $π:X o Y$ of an affine variety $Y$, we study for which $α$ does the class $[\mathcal D_{X,α}]$ in the Brauer group $\mathrm{Br}(X^{(1)})$ descend to $Y^{(1)}$. In the case when $X$ is symplectic, this question is related to Fedosov quantizations in characteristic $p$ and the construction of non-commutative resolutions of $Y$. We prove that the classes $[\mathcal D_{X,α}]$ descend étale locally for all $α$ if $\mathcal O_Y\simeq π_* \mathcal O_X$ and $R^{1,2}π_*\mathcal O_X =0$. We also define a certain class of resolutions which we call resolutions with conical slices, and prove that for a general reduction of a resolution with conical slices in characteristic $0$ to an algebraically closed field of characteristic $p$ classes $[\mathcal D_{X,α}]$ descend to $Y^{(1)}$ globally for all $α$. Finally we give some examples, in particular we show that Slodowy slices, Nakajima quiver varieties and hypertoric varieties are resolutions with conical slices.

研究动机与目标

• 理解在正特征下，由光滑流形 $X$ 上晶态微分算子的中心化约化所生成的阿兹马亚代数 $\mathcal{D}_{X,\alpha}$ 何时能从 $X^{(1)}$ 下降至奇异基流形 $Y$ 的 Frobenius 拓展 $Y^{(1)}$。
• 定义并刻画一类新的解析——‘具有圆锥形截面的解析’——其具有将纤维收缩至一点的 $\mathbb{G}_m$-作用，推广了具有圆锥结构的辛解析。
• 为这类解析建立布劳尔类 $[\mathcal{D}_{X,\alpha}]$ 的全局下降，扩展了先前仅在 étale 局部成立的下降结果。
• 证明关键几何对象如斯洛多维截面、中岛 quiver 代数和超环形代数均为具有圆锥形截面的解析的例子。
• 将这些下降结果与费多索夫量子化及正特征下的非交换解析联系起来，特别是在 $K$-等价与 $D$-等价猜想的背景下。

提出的方法

• 在代数闭域的正特征下，通过 $X^{(1)}$ 上的 1-形式 $\alpha$ 参数化，构造阿兹马亚代数 $\mathcal{D}_{X,\alpha}$ 作为光滑流形 $X$ 上晶态微分算子代数 $\mathcal{D}_X$ 的中心化约化。
• 利用 Frobenius 映射与 Cartier 算子，将微分算子的 $p$-曲率与阿兹马亚代数结构联系起来。
• 通过一个将纤维收缩至一点的 $\mathbb{G}_m$-作用定义‘具有圆锥形截面的解析’，并确保其在局部 étale 同构于与仿射空间的积。
• 应用 étale 局部下降技术，并利用层 $\mathcal{Q}_{\pi,N}$ 与 gerbes $\mathcal{S}(X,\alpha)$、$\mathcal{L}(X,\alpha)$ 分析全局下降的 Picard 障碍。
• 运用 Darboux 型定理与 étale 同构，比较解析的局部结构，特别是在 Marsden-Weinstein 与哈密顿约化背景下。
• 证明对于具有圆锥形截面的解析，在 $\pi_*\mathcal{O}_X$ 满足温和上同调条件时，布劳尔类 $[\mathcal{D}_{X,\alpha}]$ 全局下降至 $Y^{(1)}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征下，对于解析 $\pi: X \to Y$，其晶态微分算子的中心化约化所关联的布劳尔类 $[\mathcal{D}_{X,\alpha}]$ 在何种条件下能从 $X^{(1)}$ 下降至 $Y^{(1)}$？
• RQ2 哪些解析具有 $\mathbb{G}_m$-作用，使得该作用将纤维收缩至一点？这种结构如何促进布劳尔类的全局下降？
• RQ3 对于由辛或哈密顿约化生成的解析（如斯洛多维截面或 quiver 代数），是否能建立 $[\mathcal{D}_{X,\alpha}]$ 的全局下降？
• RQ4 在圆锥形解析上，1-形式的 $\mathbb{G}_m$-权如何影响相关阿兹马亚代数的下降行为？
• RQ5 具有圆锥形截面的解析在多大程度上统一了已知例子（如中岛 quiver 代数与超环形代数），在非交换解析与费多索夫量子化的背景下？

主要发现

• 对于任意满足 $\mathcal{O}_Y \xrightarrow{\sim} \pi_*\mathcal{O}_X$ 且 $R^1\pi_*\mathcal{O}_X = R^2\pi_*\mathcal{O}_X = 0$ 的解析 $\pi: X \to Y$，所有 $\alpha$ 的布劳尔类 $[\mathcal{D}_{X,\alpha}]$ 在 $Y^{(1)}$ 上 étale 局部下降。
• 本文定义了‘具有圆锥形截面的解析’为具有将纤维收缩至一点的 $\mathbb{G}_m$-作用的解析，并证明对于此类解析，所有 $\alpha$ 的类 $[\mathcal{D}_{X,\alpha}]$ 全局下降至 $Y^{(1)}$。
• 证明了斯洛多维截面、中岛 quiver 代数与超环形代数均为具有圆锥形截面的解析，提供了该构造的明确例子。
• 通过正规化 $\mathrm{SL}_2$ 的伴随作用，构造了斯洛多维截面上的 $\mathbb{G}_m$-作用，得到一个保持截面并将其收缩至幂零元 $e$ 的收缩作用。
• 具有圆锥形截面的解析的 étale 局部结构允许如下同构：$(\pi, X, Y, x) \sim_{et} (\pi_{e'}, \widetilde{\mathcal{S}}_{e'}, \mathcal{S}_{e'}, x') \times \underline{\mathbb{A}}^{\dim \mathbb{O}}$，这表明其具有局部圆锥结构，并支持下降结果。
• 本文证明了对于具有圆锥形截面的解析，$[\mathcal{D}_{X,\alpha}]$ 的全局下降无需依赖 étale 局部化，推广了仅建立 étale 局部下降的早期结果。