[论文解读] Resonant spaces for volume preserving Anosov flows

Mihajlo Cekić, Gabriel P. Paternain|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 39被引用 4

一句话总结

该论文利用贝蒂数、上同调类 $[\iota_X\Omega]$ 和螺旋度，计算了三维流形上保体积的Anosov流的共振空间维数。在半单性条件下，证明了这些维数与Pollicott-Ruelle共振重数一致；证明了时间变换的双曲测地流的半单性不成立，并表明非同调零变形保持了半单性，对Ruelle zeta函数零点阶数的分析具有重要意义。

ABSTRACT

We consider Anosov flows on closed 3-manifolds preserving a volume form $Ω$. Following Dyatlov and Zworski (2017) we study spaces of invariant distributions with values in the bundle of exterior forms whose wavefront set is contained in the dual of the unstable bundle. Our first result computes the dimension of these spaces in terms of the first Betti number of the manifold, the cohomology class $[ι_{X}Ω]$ (where $X$ is the infinitesimal generator of the flow) and the helicity. These dimensions coincide with the Pollicott-Ruelle resonance multiplicities under the assumption of $ extit{semisimplicity}$. We prove various results regarding semisimplicity on 1-forms, including an example showing that it may fail for time changes of hyperbolic geodesic flows. We also study non null-homologous deformations of contact Anosov flows and we show that there is always a splitting Pollicott-Ruelle resonance on 1-forms and that semisimplicity persists in this instance. These results have consequences for the order of vanishing at zero of the Ruelle zeta function. Finally our analysis also incorporates a flat unitary twist in both, the resonant spaces and the Ruelle zeta function.

研究动机与目标

• 计算闭3-流形上保体积Anosov流的、波前集位于对偶不稳定丛中的不变分布的共振空间维数。
• 在半单性条件下，将这些维数与Pollicott-Ruelle共振重数联系起来。
• 研究保体积Anosov流的1-半单性是否成立，特别是时间变换的双曲测地流的情形。
• 研究接触Anosov流的非同调零变形对共振空间和Ruelle zeta函数的影响。
• 分析平坦单位酉扭对共振空间及zeta函数的影响。

提出的方法

• 将共振空间 $\text{Res}_k(0)$ 定义为 $\mathcal{D}'_{E_u^*}(M;\Omega^k)$ 中被 $\iota_X$ 和 $\iota_X d$ 消去的分布。
• 利用第一贝蒂数 $b_1(M)$、上同调类 $[\iota_X\Omega]$ 和螺旋度 $\mathcal{H}(X)$ 计算 $\dim\text{Res}_k(0)$。
• 证明在半单性条件下，$\dim\text{Res}_k(0)$ 等于Pollicott-Ruelle共振重数 $m_k(0)$。
• 通过构造一个时间变换的双曲测地流的例子，证明其1-半单性不成立，利用稳定与不稳定丛的Hölder连续性。
• 分析接触Anosov流的非同调零变形，表明半单性保持不变，并出现分裂共振结构。
• 通过单位余切丛上的拉回与对偶技术，将平坦单位酉扭同时引入共振空间和Ruelle zeta函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于闭3-流形上的保体积Anosov流，共振空间 $\text{Res}_k(0)$ 的维数是多少？它如何依赖于拓扑与动力学不变量？
• RQ2 在什么条件下 $\text{Res}_1(0)$ 的维数超过 $b_1(M)$？螺旋度起什么作用？
• RQ3 一般保体积Anosov流是否具有1-半单性？时间变换的双曲测地流中1-半单性是否可能不成立？
• RQ4 接触Anosov流的非同调零变形如何影响共振结构与半单性？
• RQ5 平坦单位酉扭对共振空间及Ruelle zeta函数零点阶数有何影响？

主要发现

• 对于任意闭3-流形上的保体积Anosov流，有 $\dim\text{Res}_0(0) = \dim\text{Res}_2(0) = 1$。
• 若 $[\iota_X\Omega] \neq 0$，则 $\dim\text{Res}_1(0) = b_1(M) - 1$。
• 若 $[\iota_X\Omega] = 0$，则当 $\mathcal{H}(X) \neq 0$ 时 $\dim\text{Res}_1(0) = b_1(M)$，当 $\mathcal{H}(X) = 0$ 时 $\dim\text{Res}_1(0) = b_1(M) + 1$。
• 当且仅当流是 $k$-半单时，$\text{Res}_k(0)$ 的维数与Pollicott-Ruelle共振重数 $m_k(0)$ 一致。
• 存在一个时间变换的双曲测地流，其1-半单性不成立，原因在于稳定与不稳定丛的Hölder连续性。
• 对于接触Anosov流的非同调零变形，1-形式上出现分裂共振结构，且1-半单性保持不变。