[论文解读] Restricted frame graphs and a conjecture of Scott

Jérémie Chalopin, Louis Esperet+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用 2

一句话总结

本文研究了关于排除某固定图 H 的细分作为诱导子图的图的 χ-有界性之 Scott 猜想。通过分析三角形-free 线段交集图中具有无界色数的构造，作者识别出新的反例：任何在无每条圈都包含的顶点的 2-连通多重图上进行的 ≥2-细分均为反例。此外，作者进一步证明，对于通过至少一次细分 K₄ 的每条边所得到的所有图，Scott 猜想均不成立。

ABSTRACT

Scott proved in 1997 that for any tree $T$, every graph with bounded clique number which does not contain any subdivision of $T$ as an induced subgraph has bounded chromatic number. Scott also conjectured that the same should hold if $T$ is replaced by any graph $H$. Pawlik et al. recently constructed a family of triangle-free intersection graphs of segments in the plane with unbounded chromatic number (thereby disproving an old conjecture of Erd\H{o}s). This shows that Scott's conjecture is false whenever $H$ is obtained from a non-planar graph by subdividing every edge at least once. It remains interesting to decide which graphs $H$ satisfy Scott's conjecture and which do not. In this paper, we study the construction of Pawlik et al. in more details to extract more counterexamples to Scott's conjecture. For example, we show that Scott's conjecture is false for any graph obtained from $K_4$ by subdividing every edge at least once. We also prove that if $G$ is a 2-connected multigraph with no vertex contained in every cycle of $G$, then any graph obtained from $G$ by subdividing every edge at least twice is a counterexample to Scott's conjecture.

研究动机与目标

• 确定哪些图 H 在排除 H 的所有细分作为诱导子图时，会使所生成的图类不具有 χ-有界性，从而违反 Scott 猜想。
• 将已知的 Scott 猜想反例扩展至不仅限于非平面图的 ≥1-细分之外的更大范围。
• 刻画在 Pawlik 等人构造的三角形-free 线段交集图中，其诱导子图不包含 H 的任何细分的图 H 的类。
• 证明：任何在 2-连通多重图上进行的 ≥2-细分，若该图中无顶点位于每条圈中，则为 Scott 猜想的反例。
• 建立受限框架图与导致反例的图 H 的结构特性之间的联系。

提出的方法

• 分析 Pawlik 等人关于平面中线段交集图的构造，其具有无界色数且不含三角形。
• 利用这些图也是受限框架图（即平面中特定弧连通图形的交集图）的事实。
• 刻画图 H，使得 H 的任何细分均无法表示为受限框架图，从而表明此类 H 是 Scott 猜想的反例。
• 应用递归算法，基于图分解为 2-连通分量，判断多重图 G 是否存在一个 ≥2-细分是受限框架图。
• 利用结构图论：识别吊灯结构、反馈顶点和割点，以判断何时 ≥2-细分不能是受限框架图。
• 利用受限框架图在添加孪生顶点下的稳定性，如 Walczak 的改进构造所示。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些图 H，排除所有 H 的细分作为诱导子图的图类不具有 χ-有界性？
• RQ2 Pawlik 等人的构造能否用于生成比仅 ≥1-细分非平面图更大的 Scott 猜想反例类？
• RQ3 哪些多重图 G 满足其每个 ≥2-细分都是 Scott 猜想的反例？
• RQ4 对多重图 G 的哪些结构条件可确保其任何 ≥2-细分都不是受限框架图？
• RQ5 是否存在对图 H 的完整刻画，使得 H 的任何细分均不出现在线段交集构造的诱导子图中？

主要发现

• Scott 猜想对通过至少一次细分 K₄ 的每条边所得到的任何图均不成立。
• 任何在无每条圈都包含的顶点的 2-连通多重图上进行的 ≥2-细分，均为 Scott 猜想的反例。
• 受限框架图类在添加孪生顶点下是封闭的，这使得可将反例从原始 Pawlik 等人构造扩展至 Walczak 的改进构造。
• 基于图的 2-连通分量和反馈顶点，提供了判断多重图 G 是否存在一个 ≥2-细分是受限框架图的完整算法刻画。
• Pawlik 等人的构造生成的图具有无界色数且不含线性规模的稳定集，这意味着此类家族中分数色数也无界。
• 结果表明，排除某给定 H 的所有细分作为诱导子图的图类，其不具有 χ-有界性的 H 的家族远大于此前已知的范围，包括所有无通用顶点的 2-连通多重图的 ≥2-细分。