[论文解读] Restricted Markov uniqueness for the stochastic quantization of $P(Φ)_2$ and its applications

Michael Röckner, Rongchan Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用 6

一句话总结

本文通过将狄氏型方法得到的解与 [DD03] 和 [MW15] 中的结果联系起来，建立了在 $\mathbb{T}^2$ 和 $\mathbb{R}^2$ 上 $P(\Phi)_2$ 模型随机量化的受限马尔可夫唯一性以及概率弱解的唯一性。证明了 $X - Z$ 满足一个平移方程，并表明无限体积下的 $P(\Phi)_2$ 测度在 $X_0 = Y + Z$ 的过程下不变，其中 $Y$ 是平移方程的解，从而解决了无限维随机量化的长期未解的唯一性问题。

ABSTRACT

In this paper we obtain restricted Markov uniqueness of the generator and uniqueness of probabilistically weak solutions for the stochastic quantization problem in both the finite and infinite volume case by clarifying the precise relation between the solutions to the stochastic quantization problem obtained by the Dirichlet form approach and those obtained in [DD03] and in [MW15]. We prove that the solution $X-Z$, where $X$ is obtained by the Dirichlet form approach in [AR91] and $Z$ is the corresponding O-U process, satisfies the corresponding shifted equation (see (1.4) below). Moreover, we obtain that the infinite volume $P(Φ)_2$ quantum field is an invariant measure for the $X_0=Y+Z$, where $Y$ is the unique solution to the shifted equation.

研究动机与目标

• 解决无限维随机量化中 $P(\Phi)_2$ 生成元的受限马尔可夫唯一性这一长期悬而未决的问题。
• 在有限与无限体积设定下，建立随机量化方程 (1.1) 的概率弱解的唯一性。
• 阐明通过狄氏型方法获得的解与 [DD03] 和 [MW15] 中解之间的关系。
• 证明 $P(\Phi)_2$ 测度是过程 $X_0 = Y + Z$ 的不变测度，其中 $Y$ 是平移方程的解。

提出的方法

• 使用狄氏型方法，在有限与无限体积情形下构造随机量化方程 (1.1) 的弱解。
• 分析狄氏型方法得到的解与 [DD03] 和 [MW15] 中解之间的关系，特别关注 $X - Z$ 的平移方程。
• 在贝索夫型空间 $\hat{\mathcal{B}}^{\alpha,\sigma}_{p,p}$ 上应用正则性估计，以建立非线性项的路径连续性与可积性。
• 利用 $\mathcal{E}$-零测集与拟正则性概念，在无限维设定下定义受限马尔可夫唯一性。
• 采用鞅问题框架，将解的唯一性与相关狄氏型的唯一性联系起来。
• 应用 [MW15] 中关于平移方程解的路径唯一性与正则性的结果，推导出全局路径性质与不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无限维设定下，$P(\Phi)_2$ 随机量化生成元是否具有受限马尔可夫唯一性？
• RQ2 在 $\nu_0$-等价意义下，随机量化方程 (1.1) 的概率弱解是否唯一？
• RQ3 通过狄氏型方法获得的解与 [DD03] 和 [MW15] 中的解之间的确切关系是什么？
• RQ4 $P(\Phi)_2$ 测度是否在 $X_0 = Y + Z$ 的过程下不变，其中 $Y$ 是平移方程的解？
• RQ5 是否可证明解 $X - Z$ 满足一个平移方程，其具有何种正则性？

主要发现

• 本文在有限与无限体积情形下，建立了 $P(\Phi)_2$ 随机量化生成元的受限马尔可夫唯一性。
• 在两种设定下，证明了方程 (1.1) 存在唯一一个概率弱解（在 $\nu_0$-等价意义下）。
• 解 $X - Z$ 在 $\hat{\mathcal{B}}^{\alpha,\sigma}_{3p_0,\infty}$ 与 $\hat{\mathcal{B}}^{\beta,\sigma}_{p,p}$ 空间中，以路径连续性意义满足平移方程 (1.4)。
• 无限体积下的 $P(\Phi)_2$ 测度 $\nu_0$ 是过程 $X_0 = Y + Z$ 的不变测度，其中 $Y$ 是平移方程的唯一解。
• 解 $X$ 几乎必然关于时间连续，取值于 $\hat{\mathcal{B}}^{\alpha,\sigma}_{3p_0,\infty}$，且 $X - Z$ 在 $\hat{\mathcal{B}}^{\beta,\sigma}_{p,p}$ 中连续，其中 $0 < \beta < \frac{1}{2}$ 且 $p > 1$。
• 与过程 $X_0 = Y + Z$ 的转移半群相关的狄氏型，与通过狄氏型方法获得的狄氏型一致，确认了不同方法之间的一致性。