[论文解读] Restricted Max-Min Fair Allocation

Siu-Wing Cheng, Yuchen Mao|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文提出了一种受限最大最小公平分配问题的多项式时间组合算法，对任意常数 δ > 0，其近似比为 6 + δ。通过引入更具攻击性的贪心策略以及一种新颖的基于注入的分析技术，作者弥合了估计（4 + δ）与构造（此前为 6 + 2√10 + δ）之间的差距，实现了显著改进的近似比，且无需依赖配置LP。

ABSTRACT

The restricted max-min fair allocation problem seeks an allocation of resources to players that maximizes the minimum total value obtained by any player. It is NP-hard to approximate the problem to a ratio less than 2. Comparing the current best algorithm for estimating the optimal value with the current best for constructing an allocation, there is quite a gap between the ratios that can be achieved in polynomial time: roughly 4 for estimation and roughly $6 + 2\sqrt{10}$ for construction. We propose an algorithm that constructs an allocation with value within a factor of $6 + δ$ from the optimum for any constant $δ> 0$. The running time is polynomial in the input size for any constant $δ$ chosen.

研究动机与目标

• 为解决长期存在的问题：最佳已知估计最优解的近似比（4 + δ）与构造可行分配的近似比（6 + 2√10 + δ ≈ 12.325 + δ）之间的差距。
• 设计一种多项式时间算法，其近似比优于此前受限最大最小公平分配问题的组合方法。
• 开发一种完全组合化的分析方法，避免依赖配置LP，而该依赖此前限制了构造方面的进展。

提出的方法

• 引入更具攻击性的贪心策略：若一个玩家在所有候选者中声称的总价值接近最大值，则视为贪心，而非如先前工作要求的 τ*/2。
• 维护一个分层栈结构以追踪玩家与资源之间的关系，通过惰性更新确保多项式时间复杂度。
• 提出一种新颖的注入映射，将栈中玩家映射到其可访问高价值资源的竞争玩家，从而实现对所声称价值的更强下界。
• 将 Chan 等人 [7] 的框架融入新分析中，以界定栈及其竞争玩家所覆盖的资源总价值。
• 对候选值 τ 使用二分查找以寻找 τ/λ 分配，当区间宽度在 (1 + δ) 以内时终止。
• 针对 RAM 模型中非整数资源值调整二分查找方案，同时保持 6 + δ 的近似保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能设计一种多项式时间算法，使受限最大最小公平分配问题的构造近似比更接近最佳已知估计比 4 + δ？
• RQ2 是否可能设计一种完全组合化的算法，避免求解配置LP，同时获得优于先前方法的近似比？
• RQ3 当贪心条件被显著放宽时，需要何种新型分析技术，以在基于栈的框架中界定贪心玩家所声称资源的价值？

主要发现

• 所提出的算法对任意常数 δ > 0，可在多项式时间内实现 (6 + δ)-近似解，优于此前构造比 6 + 2√10 + δ ≈ 12.325 + δ 的最佳结果。
• 该算法采用更具攻击性的贪心条件——基于接近最大值的声称值选择玩家——从而加快栈的增长并提供更强保证。
• 一种新颖的基于注入的分析技术将栈中玩家映射到其竞争玩家，使作者能仅通过组合论证界定栈所声称资源的总价值。
• 该分析不依赖配置LP，使方法更加直接，且在实际中可能更高效。
• 该方法可扩展至非整数资源值的 RAM 模型，通过修改后的二分查找方案，仍保持 6 + δ 的近似比。
• 该工作弥合了估计（4 + δ）与构造（6 + δ）之间的显著差距，但实现与估计比完全匹配仍为开放问题。