[论文解读] Restrictions on Submanifolds via Focal Radius Bounds

Luis Guijarro, Frederick Wilhelm|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 4

一句话总结

该论文通过聚焦半径和周围流形的下界截面曲率，建立了子流形第二基本形式范数的最优界。关键贡献是一个锐利不等式，由此导出具有非负 $k$ 阶中间 Ricci 曲率的流形的 $C^{1,\beta}$ 紧致性与类似灵魂的结构定理，通过基于 Wilking 的横截 Jacobi 方程的新 Jacobi 场比较引理，推广了经典结果。

ABSTRACT

We give an optimal estimate for the norm of any submanifold's second fundamental form in terms of its focal radius and the lower sectional curvature bound of the ambient manifold. This is a special case of a similar theorem for intermediate Ricci curvature, and leads to a $C^{1,α}$ compactness result for submanifolds, as well as a "soul-type" structure theorem for manifolds with nonnegative $k^{th}$--intermediate Ricci curvature that have a closed submanifold with dimension $\geq k$ and infinite focal radius. To prove these results, we use the comparison lemma for Jacobi fields from arXiv:1603.04050 that exploits Wilking's transverse Jacobi equation. The comparison lemma also yields new information about group actions, Riemannian submersions, and submetries, including generalizations to intermediate Ricci curvature of results of Chen and Grove.

研究动机与目标

• 通过聚焦半径和周围曲率界，建立子流形第二基本形式的尖锐估计。
• 在中间 Ricci 曲率条件下，推广经典刚性结果（如灵魂定理）。
• 发展一种新的 Jacobi 场比较引理，其超越经典 Riccati 比较。
• 推导具有非负 $k$ 阶中间 Ricci 曲率且子流形具有无限聚焦半径的流形的结构定理。
• 将 Chen 和 Grove 关于黎曼纤维化和群作用的结果推广至中间 Ricci 曲率的情形。

提出的方法

• 利用 Wilking 的横截 Jacobi 方程，推导新的 Jacobi 场比较引理，以控制法方向上的曲率增长。
• 将比较引理应用于以聚焦半径和周围曲率来界定子流形的第二基本形式。
• 利用所得的曲率估计，证明具有有界聚焦半径和直径的子流形在 $C^{1,\alpha}$ 拓扑下的 $C^{1,\alpha}$-紧致性。
• 为包含维数 $\geq k$ 的闭子流形且聚焦半径无限的完备流形，建立类似灵魂的结构定理，满足 $\operatorname{Ric}_k \geq 0$。
• 通过分析底空间中的共轭点和测地线，推广关于黎曼纤维化和等腰维数一群作用的结果。
• 利用 Heintze 和 Karcher 的管公式获得一致的体积下界，从而应用 Cheeger 的有限性定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在聚焦半径和周围曲率已知的条件下，子流形第二基本形式范数的最优上界是什么？
• RQ2 在固定周围流形中，具有有界聚焦半径和直径的子流形能否建立 $C^{1,\alpha}$-紧致性？
• RQ3 在满足 $\operatorname{Ric}_k \geq 0$ 的完备流形中，何时存在具有无限聚焦半径的全测地闭子流形？
• RQ4 在中间 Ricci 曲率界下，黎曼纤维化底空间中的共轭点如何与全空间的几何相关？
• RQ5 Chen 和 Grove 关于纤维化和群作用的结果在多大程度上可推广至中间 Ricci 曲率情形？

主要发现

• 若周围曲率为 $\kappa=1$，则第二基本形式范数 $|\mathrm{II}_N|$ 的上界为 $\cot(\mathrm{FocalRadius}(N))$；若 $\kappa=0$，则为 $1/\mathrm{FocalRadius}(N)$；若 $\kappa=-1$，则为 $\coth(\mathrm{FocalRadius}(N))$，且在空间形式中取等。
• 若 $\kappa=0$ 且聚焦半径为无穷，则子流形为全测地。
• 在紧致周围流形中，聚焦半径 $\geq r$ 且直径 $\leq D$ 的闭子流形类在 $C^{1,\alpha}$ 拓扑下是预紧的，意味着仅有有限多个微分同胚类型。
• 对于包含维数 $\geq k$ 的闭子流形 $N$ 且聚焦半径无限的完备流形，若满足 $\operatorname{Ric}_k \geq 0$，则 $N$ 为全测地，且法指数映射为黎曼覆盖。
• 若黎曼纤维化的截面曲率 $\sec \geq 1$，则其底空间的共轭半径至多为 $\pi/2$，推广了 Chen 和 Grove 的结果。
• 在满足 $\operatorname{Ric}_k \geq k$ 的等腰维数一作用中，轨道空间的直径 $\leq \pi/2$；若等于 $\pi/2$，则其万有覆盖为标准度量下的球面或射影空间。