[论文解读] On existence and curvature estimates of Ricci flow

Man Chun Lee, Luen-Fai Tam|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文在体积和截面曲率的几何条件下，建立了具有非负双全纯截面曲率和最大体积增长的完备非紧致 Kähler 流形上 Ricci 流的短时存在性。利用 He [11] 和 Simon-Topping [23] 的技术，证明了当曲率衰减满足 $ |\text{Rm}| \leq a t^{-\theta} $ 且 $ \theta < 2 $ 时，非负双全纯截面曲率得以保持；并在非坍塌与一致有界性假设下，证明曲率以 $ a t^{-1} $ 速率衰减，从而得出此类流形双全纯同构于 $ \mathbb{C}^m $ 的结论。

ABSTRACT

In this work, using the method by He, we prove a short time existence for Ricci flow on a complete noncompact Riemannian manifold with the following properties: (i) there is $r_0&gt;0$ such that the volume of any geodesic balls of radius $r\le r_0$ is close to the volume of the geodesic ball in the Euclidean space with the same radius; (ii) the Ricci curvature is bounded below; (iii) the sectional curvature is bounded below by $-Cd^2(x,x_0)$ where $d(x,x_0)$ is the distance from a fixed point. An application to the uniformization for complete noncompact Kahler manifolds with nonnegative bisectional curvature and maximal volume growth is given. The result is related to the results of He and Liu. We prove if $g(t)$ is a complete solution to the Kahler-Ricci flow on a complete noncompact Kahler manifold so that $g(0)$ has nonnegative bisectional curvature and the curvature of $g(t)$ is bounded by $at^{-b}$ for some $a&gt;0, 2&gt;b&gt;0$, then $g(t)$ also has nonnegative bisectional curvature. This generalizes a previous result. Under the assumption that $g(0)$ is noncollapsing, with additional assumption that the curvature of $g(t)$ is uniformly bounded away from $t&gt;0$, we prove that the curvature of $g(t)$ is in fact bounded by $at^{-1}$ for some $a&gt;0$. This result is proved using the method by Simon and Topping.

研究动机与目标

• 在体积和曲率条件下，建立完备非紧致 Kähler 流形上 Ricci 流的短时存在性。
• 证明在曲率衰减 $ |\text{Rm}| \leq a t^{-\theta} $ 且 $ \theta < 2 $ 的条件下，非负双全纯截面曲率得以保持，推广了先前结果。
• 在非坍塌与一致有界性假设下，证明曲率以 $ a t^{-1} $ 速率衰减，改进了先前的估计。
• 证明具有非负双全纯截面曲率、最大体积增长及在尺度 $ r_0 $ 处体积控制的完备非紧致 Kähler 流形，双全纯同构于 $ \mathbb{C}^m $。

提出的方法

• 采用 He [11] 的方法，证明在体积控制及下界 Ricci 曲率与截面曲率条件下，完备非紧致流形上 Ricci 流的短时存在性。
• 应用 Tian-Wang [24] 的伪局部定理，控制小时间区间内曲率的发展。
• 采用 Simon 与 Topping [23] 的曲率估计技术，在非坍塌与一致有界性假设下导出 $ |\text{Rm}| \leq a t^{-1} $。
• 结合体积非坍塌性、曲率衰减与 Ricci 流演化，保持非负双全纯截面曲率。
• 使用缩放论证与流的重标度，在反证法结构的第二类情况中导出矛盾。
• 应用引理 4.1 与引理 4.2，控制演化度量球内的体积与曲率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何条件下，具有非负双全纯截面曲率和最大体积增长的完备非紧致 Kähler 流形上，Ricci 流存在短时解？
• RQ2 在不假设 $ a $ 足够小的前提下，非负双全纯截面曲率是否能在曲率衰减 $ |\text{Rm}| \leq a t^{-\theta} $ 且 $ \theta < 2 $ 的条件下保持？
• RQ3 在非坍塌与一致有界性假设下，完备 Kähler-Ricci 流解的曲率是否满足 $ |\text{Rm}| \leq a t^{-1} $？
• RQ4 在不假设初始曲率常数足够小的前提下，曲率衰减速率能否从 $ t^{-\theta} $ 提升至 $ t^{-1} $？
• RQ5 具有非负双全纯截面曲率、最大体积增长及在尺度 $ r_0 $ 处体积控制的完备非紧致 Kähler 流形是否双全纯同构于 $ \mathbb{C}^m $？

主要发现

• 本文证明了在满足体积控制 $ V_g(x,r_0) \geq (1 - \delta_0) r_0^{2m} \omega_{2m} $、下界 Ricci 曲率与截面曲率有下界 $ -r^2(x) $ 的条件下，完备非紧致 Kähler 流形上 Ricci 流存在短时解。
• 证明了在曲率衰减 $ |\text{Rm}| \leq a t^{-\theta} $ 且 $ \theta < 2 $ 的条件下，非负双全纯截面曲率得以保持，即使 $ a $ 不小，推广了 [13] 的结果。
• 在 $ t > 0 $ 时非坍塌与曲率一致有界性假设下，曲率衰减被证明为 $ |\text{Rm}| \leq a t^{-1} $，优于先前估计。
• 主要结果证实了 Yau 的猜想：当 $ \delta_0 $ 足够小且仅依赖于 $ m $ 时，此类流形双全纯同构于 $ \mathbb{C}^m $。
• 证明依赖于反证法，结合缩放与曲率估计，表明假设存在大曲率尖峰将与体积和曲率控制矛盾。
• 该结果适用于具有非负截面曲率的 Kähler 流形，因其曲率与体积条件满足假设。