[论文解读] Resultants and Gravity Amplitudes

Freddy Cachazo|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 22被引用 16

一句话总结

本文通过将树幅散射振幅表示为双次序 $(d,\tilde{d})$ 的全纯映射积分，提出了 ${\cal N}=8$ 超引力中一种显式宇称不变的表述形式，其中 $\tilde{d}=n-d-2$。结果表明，两种已知的表述形式——基于秩为 $n-3$ 的矩阵的伪行列式——得到了极大简化：一种简化为结果式 ${\rm R}(\lambda){\rm R}(\tilde{\lambda})$ 的乘积，另一种的雅可比行列式通过多项式除法完全抵消，揭示了引力振幅背后深层的代数结构。

ABSTRACT

Two very different formulations of the tree-level S-matrix of N=8 Einstein supergravity in terms of rational maps are known to exist. In both formulations, the computation of a scattering amplitude of n particles in the k R-charge sector involves an integral over the moduli space of certain holomorphic maps of degree d=k-1. In this paper we show that both formulations can be simplified when written in a manifestly parity invariant form as integrals over holomorphic maps of bi-degree (d,n-d-2). In one formulation the full integrand becomes directly the product of the resultants of each of the two maps defining the one of bi-degree (d,n-d-2). In the second formulation, a very different structure appears. The integrand contains the determinant of a (n-3)x(n-3) matrix and a 'Jacobian'. We prove that the determinant is a polynomial in the coefficients of the maps and contains the two resultants as factors.

研究动机与目标

• 统一并简化两种已知的 ${\cal N}=8$ 超引力振幅表述形式，它们在结构上不同但已知等价。
• 通过使用双次序 $(d,\tilde{d})$ 的全纯映射，显式地重新表述振幅，其中 $\tilde{d}=n-d-2$，实现宇称不变性。
• 阐明两种表述中行列式结构的代数起源，特别是雅可比行列式在其中的作用。
• 证明两种表述中的行列式结构均可约化为多项式映射的结果式，从而简化被积函数。

提出的方法

• 通过从 $\mathbb{C}P^1 \to \mathbb{C}P^1$ 的两个全纯映射（度数分别为 $d$ 和 $\tilde{d}$）构造映射 $\sigma \to (\lambda(\sigma), \tilde{\lambda}(\sigma))$ 的双次序 $(d,\tilde{d})$。
• 将第一种表述表达为包含结果式乘积 ${\rm R}(\lambda){\rm R}(\tilde{\lambda})$ 的积分，直接以显式对称形式捕捉被积函数。
• 通过 $(n-3)\times(n-3)$ 矩阵行列式和雅可比行列式重新表述第二种表述，证明行列式是映射系数的多项式，其因子包含 ${\rm R}(\lambda)$ 和 ${\rm R}(\tilde{\lambda})$。
• 证明雅可比行列式部分必须通过多项式除法完全抵消，从而表明整个被积函数简化为与第一种表述相同的結果式乘积。
• 利用超对称化将形式体系推广至 $\mathbb{C}P^{1|4} \times \mathbb{C}P^{1|4}$，以纳入 R 对称性和守恒超空间约束。
• 证明整个振幅测度在映射系数的缩放下保持不变，表明其具有几何上自然的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在显式宇称不变的框架下统一两种已知的 ${\cal N}=8$ 超引力振幅表述形式？
• RQ2 第二种表述中的行列式与雅可比行列式结构的代数起源是什么？它们与第一种表述中的结果式有何关联？
• RQ3 为何第二种表述中的雅可比行列式在多项式除法后会完全抵消？这反映了何种几何本质？
• RQ4 测度 $\prod d^{2|4}{\mathbb{M}}_\alpha \cdot {\rm R}(\lambda)$ 是否因其尺度不变性而可被理解为自然的几何对象？
• RQ5 简化后的振幅形式是否满足 BCFW 归纳关系？若是，其因子化行为如何从结果式结构中自然涌现？

主要发现

• 第一种表述简化为一个显式对称的积分，其被积函数为结果式乘积 ${\rm R}(\lambda){\rm R}(\tilde{\lambda})$，直接捕捉了双次序 $(d,\tilde{d})$ 映射下的完整被积函数。
• 第二种表述的行列式被证明是映射系数的多项式，其因子为 ${\rm R}(\lambda)$ 和 ${\rm R}(\tilde{\lambda})$，其余部分为雅可比行列式。
• 雅可比行列式部分被证明在多项式除法后完全抵消，表明整个被积函数简化为与第一种表述相同的結果式乘积。
• 整个振幅被表达为对双次序 $(d,\tilde{d})$ 映射的单一积分，其测度 $\prod d^{2|4}{\mathbb{M}}_\alpha \cdot {\rm R}(\lambda)$ 在映射系数缩放下保持不变，表明其具有几何上自然的结构。
• 在软极限下的因子化行为由结果式结构自然再现，因为 ${\rm R}(\lambda^{L}\lambda^{R}) \sim {\rm R}(\lambda^L){\rm R}(\lambda^R)$，与已知的物理极限一致。
• 两种表述的等价性通过代数方法得到确立，表明一种表述中复杂的行列式与雅可比行列式结构在另一种表述中简化为简单的結果式乘积。