[论文解读] Revenue Gaps for Static and Dynamic Posted Pricing of Homogeneous Goods

Paul Dütting, Felix Fischer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2016

Auction Theory and Applications参考文献 44被引用 9

一句话总结

本文分析了在向 n 个单位需求买家（i.i.d. 估值）出售 k 件同质商品时，使用静态挂牌价而非动态定价所导致的收入损失。研究建立了收入差距的紧致上界：对于一般分布为 2−k/n，对于正规分布约为 1/(1−1/√(2πk))，表明在非正规情形下，动态定价可使收入最高翻倍。

ABSTRACT

We consider the problem of maximizing the expected revenue from selling $k$ homogeneous goods to $n$ unit-demand buyers who arrive sequentially with independent and identically distributed valuations. In this setting the optimal posted prices are dynamic in the sense that they depend on the remaining numbers of goods and buyers. We investigate how much revenue is lost when a single static price is used instead for all buyers and goods, and prove upper bounds on the ratio between the maximum revenue from dynamic prices and that from static prices. These bounds are tight for all values of $k$ and $n$ and vary depending on a regularity property of the underlying distribution. For general distributions we obtain a ratio of $2-k/n$, for regular distributions a ratio that increases in $n$ and is bounded from above by $1/(1-k^k/(e^{k}k!))$, which is roughly $1/(1-1/(\sqrt{2πk}))$. The lower bounds hold for the revenue gap between dynamic and static prices. The upper bounds are obtained via an ex-ante relaxation of the revenue maximization problem, as a consequence the tight bounds of $2-k/n$ in the general case and of $1/(1-1/(\sqrt{2πk}))$ in the regular case apply also to the potentially larger revenue gap between the optimal incentive-compatible mechanism and the optimal static price. Our results imply that for regular distributions the benefit of dynamic prices vanishes while for non-regular distributions dynamic prices may achieve up to twice the revenue of static prices.

研究动机与目标

• 量化在 k 件同质商品和 n 个单位需求买家的顺序销售设定下，使用静态价格而非动态价格所导致的收入损失。
• 研究收入差距如何依赖于底层估值分布的正规性。
• 为所有 k 和 n 建立最优动态收入与最优静态收入之比的紧致上界。
• 证明所推导的边界同样适用于最优激励相容机制与静态价格之间的差距，这是通过事前松弛技术实现的。
• 探讨动态定价在实际中的影响，包括收入增益与客户公平性担忧之间的权衡。

提出的方法

• 形式化 i.i.d. 估值下、k 件相同商品和顺序到达买家的收入最大化问题。
• 通过收入最大化问题的事前松弛，推导动态收入与静态收入之比的上界。
• 应用伯恩斯坦多项式逼近，分析在极端估值的离散分布下收入的行为。
• 构造特定的离散分布，其质量点位于 1 和 kn/ε 处，以在 ε→0 的极限下证明边界的紧致性。
• 使用集中不等式和尾部概率边界，评估动态定价策略下的期望收入。
• 利用二项分布的性质和凹函数逼近，证明上界对所有 n≥⌈1/α⌉ 成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 k 件同质商品和 n 名买家，最优动态挂牌价收入与最优静态挂牌价收入之间的最大可能比值是多少？
• RQ2 该收入差距如何依赖于底层估值分布的正规性？
• RQ3 能否将收入差距的边界扩展至最优激励相容机制与静态定价的比较？
• RQ4 当 k 增大时，收入差距的渐近行为如何，特别是针对正规与非正规分布？
• RQ5 所推导的上界有多紧致？能否通过显式构造在实际中实现？

主要发现

• 对于一般分布，动态定价与静态定价之间的收入差距最多为 2−k/n，且该边界对所有 k 和 n 均为紧致。
• 对于正规分布，收入差距的上界为 1/(1−1/√(2πk))，当 k 增大时该值渐近趋近于 1。
• 边界 1/(1−1/√(2πk)) 是紧致的，不仅适用于动态定价与静态定价的比较，也适用于最优激励相容机制与静态价格之间的差距。
• 在非正规分布中，动态定价可使收入达到静态定价的两倍，这一结论通过在极端估值点处的极限构造得以验证。
• 对于正规分布，收入差距随 k 增大而渐近消失，表明在这些设定下动态定价的边际收益递减。
• 分析确认，当估值分布为非正规时，收入差距达到最大，凸显了在定价策略设计中分布假设的重要性。