[论文解读] Reversed Dickson Polynomials of the Third Kind

Neranga Fernando|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文研究有限域 $ \mathbb{F}_q $ 上的第三类反向 Dickson 多项式，记为 $ D_{n,2}(1,x) $，其中 $ q = p^e $ 且 $ p $ 为素数。本文建立了此类多项式成为置换多项式的必要条件，并通过函数方程与生成函数方法，显式计算了和式 $ \sum_{a \in \mathbb{F}_q} D_{n,2}(1,a) $，推导出不同次数下该和式的递归公式。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime and $q=p^e$. We discuss the properties of the reversed Dickson polynomial $D_{n,2}(1,x)$ of the third kind. We also give several necessary conditions for the reversed Dickson polynomial of the third kind $D_{n,2}(1,x)$ to be a permutation of $\mathbb{F}_{q}$. In particular, we give explicit evaluation of the sum $\sum_{a\in \mathbb{F}_q}D_{n,2}(1,a)$.

研究动机与目标

• 分析有限域 $ \mathbb{F}_q $ 上第三类反向 Dickson 多项式 $ D_{n,2}(1,x) $ 的置换性质。
• 建立 $ D_{n,2}(1,x) $ 在 $ \mathbb{F}_q $ 上成为置换多项式的必要条件。
• 利用生成函数与函数恒等式，显式计算所有 $ n $ 对应的和式 $ \sum_{a \in \mathbb{F}_q} D_{n,2}(1,a) $。
• 将这些多项式的结构与已知数列及 Jacobsthal 多项式联系起来，增强其代数解释。

提出的方法

• 通过代换 $ x = y + y^{-1} $ 推导 $ F_n(1,x) = D_{n,2}(1,x) $ 的函数方程，将其与 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 中的根联系起来。
• 利用恒等式 $ F_n(a,x) = a^n F_n(1, x/a^2) $，将 $ F_n(a,x) $ 的研究简化为 $ F_n(1,x) $，从而简化分析。
• 应用生成函数与幂级数展开，建立和式 $ \sum_{a \in \mathbb{F}_q} F_n(1,a) $ 的模型，通过有理函数展开的系数表达该和式。
• 通过幂级数中系数的递归比较，推导出不同次数下该和式的闭式表达。
• 利用文献 [2] 中关于第二类反向 Dickson 多项式的已知结果，构建该和式的递归关系。
• 依赖于从 $ (z - z^q)^{q-1} $ 导出的有理函数 $ h(z) $ 的结构，建立该和式生成函数的模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，第三类反向 Dickson 多项式 $ D_{n,2}(1,x) $ 是有限域 $ \mathbb{F}_q $ 上的置换多项式？
• RQ2 对所有 $ n $，和式 $ \sum_{a \in \mathbb{F}_q} D_{n,2}(1,a) $ 的显式值是什么？
• RQ3 多项式 $ D_{n,2}(1,x) $ 的函数方程如何与 Dickson 多项式及切比雪夫多项式的函数方程相关联？
• RQ4 $ D_{n,2}(1,x) $ 与 Jacobsthal 多项式或整数数列 A010892 与 A128834 之间存在何种联系？

主要发现

• 通过基于生成函数系数的递归公式，显式计算了和式 $ \sum_{a \in \mathbb{F}_q} D_{n,2}(1,a) $。
• 对 $ 1 \leq j \leq q-1 $，和式满足 $ \sum_{a \in \mathbb{F}_q} D_{j,2}(1,a) = -c_j + \frac{j}{2^{j-1}} $，其中 $ c_j $ 为有理函数展开中的系数。
• 当 $ n = q $ 时，和式为 $ \sum_{a \in \mathbb{F}_q} D_{q,2}(1,a) = c_1 - c_q $，其中 $ c_k $ 由生成函数导出。
• 当 $ n = lq + j $ 且 $ 1 \leq l \leq q-2 $、$ 1 \leq j \leq q-1 $ 时，和式满足涉及 $ c_{lq+j} $ 与先前和式值的递归关系。
• 当 $ n = q^2 - q + j $ 时，和式为 $ \sum_{i=j}^{q-1} c_{q^2 + i} + \frac{j}{2^{q^2 - q + j - 1}} $，表明其依赖于高阶系数。
• 确认了 $ D_{n,2}(1, \frac{1}{4}) = \frac{n}{2^{n-1}} $，将该多项式与已知有理数列联系起来。