[论文解读] Riemannian quantum circuit optimization for Hamiltonian simulation

Ayse Kotil, Rahul Banerjee+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 35被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种黎曼优化框架，通过将量子门视为流形上的通用酉矩阵，来改进基于Trotter-Suzuki分解的哈密顿量模拟量子线路。结合张量网络技术使用黎曼信赖域算法，该方法在一维伊辛模型和赫巴德模型中，相较于标准四阶分裂方法，实现了数量级的精度提升。

ABSTRACT

Hamiltonian simulation, i.e., simulating the real time evolution of a target quantum system, is a natural application of quantum computing. Trotter-Suzuki splitting methods can generate corresponding quantum circuits; however, a faithful approximation can lead to relatively deep circuits. Here we start from the insight that for translation invariant systems, the gates in such circuit topologies can be further optimized on classical computers to decrease the circuit depth and/or increase the accuracy. We employ tensor network techniques and devise a method based on the Riemannian trust-region algorithm on the unitary matrix manifold for this purpose. For the Ising and Heisenberg models on a one-dimensional lattice, we achieve orders of magnitude accuracy improvements compared to fourth-order splitting methods. The optimized circuits could also be of practical use for the time-evolving block decimation (TEBD) algorithm.

研究动机与目标

• 解决由于高阶Trotter-Suzuki近似导致的哈密顿量模拟中深层量子线路的挑战。
• 通过优化完整酉门而非参数化门，克服参数化变分线路的局限性。
• 利用平移不变性与张量网络方法，实现对大规模系统量子线路的高效优化。
• 开发一种可扩展的经典优化框架，用于量子线路，以提高保真度并减少线路深度。
• 使优化后的线路可在时间演化块密度矩阵重正化群（TEBD）算法及未来的二维模拟中实际应用。

提出的方法

• 将量子线路优化问题表述为在酉矩阵流形上最小化目标时间演化算符与线路酉变换之间的距离。
• 应用黎曼信赖域算法优化门矩阵 $ G_{ heta} $，将其视为流形 $ \mathcal{U}(d^2) $ 上的点，利用黎曼几何实现高效下降。
• 使用张量网络技术高效计算梯度和更新方向，避免完整态矢量重建。
• 采用Wirtinger形式化方法进行复数微分，计算关于酉矩阵的代价函数的黎曼梯度。
• 采用砖墙型线路布局并施加周期性边界条件，以抑制有限尺寸效应并实现向更大系统扩展。
• 针对固定演化时间 $ t \sim 1 $ 优化门，通过重复线路实现整数倍时间演化。

实验结果

研究问题

• RQ1 对完整酉门进行黎曼优化是否能显著提升基于Trotter-Suzuki分解的哈密顿量模拟量子线路的精度？
• RQ2 与参数化门优化相比，优化通用酉矩阵在保真度和线路深度方面表现如何？
• RQ3 对小系统优化的线路在多大程度上可可靠外推至更大规模的平移不变系统？
• RQ4 所提出的方法能否提升TEBD等经典模拟算法的性能？
• RQ5 周期性边界条件对方法的优化效果和可扩展性有何影响？

主要发现

• 所提方法在一维伊辛模型和赫巴德模型中，相较于标准四阶Trotter-Suzuki分裂方法，实现了数量级的保真度提升。
• 由于光锥结构和平移不变性，优化后的线路在应用于更大系统时仍保持高精度，支持在训练尺寸之外的忠实模拟。
• 黎曼信赖域算法成功收敛至高保真度解，证明了基于流形的优化在量子线路设计中的有效性。
• 只要满足光锥约束，该方法可适用于具有长程相互作用的系统。
• 通过串联电路，优化后的门可跨多个时间步重复使用，实现深度更低的可扩展时间演化。
• 该框架可扩展至二维晶格和非平移不变系统，尽管计算成本随系统规模增加而上升。