[论文解读] Right-angled Artin pro-$p$ groups

Ilir Snopce, Pavel Zaleskii|arXiv (Cornell University)|May 4, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 30被引用 5

一句话总结

本文证明了与有限单纯复形图 $\Gamma$ 关联的右角 Artin 的 pro-$p$ 群 $G_{\Gamma}$ 是 Bloch-Kato 的 pro-$p$ 群当且仅当 $\Gamma$ 不包含作为诱导子图的 4-圈 ($C_4$) 或长度为 3 的路径 ($L_3$)。六个群论性质——一致性、无扭的阿贝尔化、从 $\mathbb{Z}_p$ 出发的初等构造、作为最大 pro-$p$ 伽罗瓦群的实现，以及对子群的封闭性——之间的等价性，证实了 Quadrelli 和 Weigel 的一个猜想，并验证了 De Clercq 与 Florens 的光滑性猜想。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime. The right-angled Artin pro-$p$ group $G_Γ$ associated to a fnite simplicial graph $Γ$ is the pro-$p$ completion of the right-angled Artin group associated to $Γ$. We prove that the following assertions are equivalent: (i) no induced subgraph of $Γ$ is a square or a line with four vertices (a path of length 3); (ii) every closed subgroup of $G_Γ$ is itself a right-angled Artin pro-$p$ group (possibly infinitely generated); (iii) $G_Γ$ is a Bloch-Kato pro-$p$ group; (iv) every closed subgroup of $G_Γ$ has torsion free abelianization; (v) $G_Γ$ occurs as the maximal pro-$p$ Galois group $G_K(p)$ of some field $K$ containing a primitive $p$th root of unity; (vi) $G_Γ$ can be constructed from $\mathbb{Z}_p$ by iterating two group theoretic operations, namely, direct products with $\mathbb{Z}_p$ and free pro-$p$ products. This settles in the affirmative a conjecture of Quadrelli and Weigel. Also, we show that the Smoothness Conjecture of De Clercq and Florens holds for right-angled Artin pro-$p$ groups. Moreover, we prove that $G_Γ$ is coherent if and only if each circuit of $Γ$ of length greater than three has a chord.

研究动机与目标

• 解决 Quadrelli 和 Weigel 的猜想：$G_{\Gamma}$ 是 Bloch-Kato 的 pro-$p$ 群当且仅当 $\Gamma$ 不含诱导的 $C_4$ 或 $L_3$ 子图。
• 刻画 $G_{\Gamma}$ 一致性的条件，即每个有限生成的闭子群都是有限表示的条件。
• 验证 De Clercq 与 Florens 的光滑性猜想对右角 Artin 的 pro-$p$ 群成立。
• 建立 $G_{\Gamma}$ 的六个群论性质之间的完全等价性，包括其作为最大 pro-$p$ 伽罗瓦群的实现性。
• 通过从 $\mathbb{Z}_p$ 出发的自由与直积的 pro-$p$ 产物，提供 $G_{\Gamma}$ 的结构刻画。

提出的方法

• 使用 pro-$p$ 群的表示来定义 $G_{\Gamma}$ 为与 $\Gamma$ 关联的抽象右角 Artin 群的 pro-$p$ 完备化。
• 在上同调中应用 Mayer-Vietoris 序列，以分析子群的上同调有限性性质。
• 构造自然同态 $f: G_{\Gamma} \to \mathbb{Z}_p$ 的核 $K_{\Gamma}$，以研究子群结构。
• 对树中顶点数进行归纳，证明当 $T$ 为有限树时，$K_T$ 是有限秩的自由 pro-$p$ 群。
• 利用并置的自由 pro-$p$ 群分解来分析当 $\Gamma$ 为非弦图时的 $K_{\Gamma}$。
• 利用关于二次上同调代数与 Bloch-Kato 猜想的已知结果，将群论性质与伽罗瓦论性质联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在图 $\Gamma$ 满足何种条件时，右角 Artin 的 pro-$p$ 群 $G_{\Gamma}$ 是 Bloch-Kato 的 pro-$p$ 群？
• RQ2 在何种情况下 $G_{\Gamma}$ 是一致的，即所有有限生成的闭子群都是有限表示的？
• RQ3 能否仅通过自由与直积的 pro-$p$ 产物从 $\mathbb{Z}_p$ 构造出 $G_{\Gamma}$？
• RQ4 $G_{\Gamma}$ 是否可作为某个域 $K$ 的最大 pro-$p$ 伽罗瓦群 $G_K(p)$ 出现，其中 $K$ 包含一个本原 $p$ 次单位根？
• RQ5 De Clercq 与 Florens 的光滑性猜想对右角 Artin 的 pro-$p$ 群是否成立？

主要发现

• 六个性质——不含诱导的 $C_4$ 或 $L_3$、$G_{\Gamma}$ 是 Bloch-Kato 群、每个闭子群的阿贝尔化无扭、$G_{\Gamma}$ 可实现为 $G_K(p)$、$G_{\Gamma}$ 可通过自由与直积的 pro-$p$ 产物从 $\mathbb{Z}_p$ 构造，以及每个闭子群都是右角 Artin 的 pro-$p$ 群——全部等价。
• $G_{\Gamma}$ 一致当且仅当 $\Gamma$ 中所有长度大于三的圈都有弦。
• 当 $T$ 为有限树时，映射 $G_T \to \mathbb{Z}_p$ 的核 $K_T$ 是有限秩的自由 pro-$p$ 群。
• 若 $\Gamma$ 非弦图，则 $G_{\Gamma}$ 不一致，这由其核的无限维第二上同调可得。
• 若 $\Gamma$ 包含诱导的 $C_4$ 或 $L_3$，则 $G_{\Gamma}$ 不是 Bloch-Kato 的 pro-$p$ 群，从而证实了 Quadrelli 与 Weigel 的猜想。
• De Clercq 与 Florens 的光滑性猜想对右角 Artin 的 pro-$p$ 群成立，因为其上同调维数与结构符合猜想所要求的条件。