[论文解读] Right-tail moderate deviations in the exponential last-passage percolation

Elnur Emrah, Christopher Janjigian+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用 9

一句话总结

本文通过Rains的矩生成函数恒等式和平面性论证，利用概率方法证明，建立了指数角落生长模型中最后一段通过渗滤（LPP）在体积极限和增量平稳设置下的尖锐右尾中等偏差界。关键贡献是增量平稳过程中出口点的尖锐上界，其应用包括Busemann函数和竞争界面极限中的收敛速度。

ABSTRACT

We study moderate deviations in the exponential corner growth model, both in the bulk setting and the increment-stationary setting. The main results are sharp right-tail bounds on the last-passage time and the exit point of the increment-stationary process. The arguments utilize calculations with the stationary version and a moment generating function identity due to E. Rains, for which we give a short probabilistic proof. As applications of the deviation bounds, we derive upper bounds on the speed of distributional convergence in the Busemann function and competition interface limits.

研究动机与目标

• 推导指数角落生长模型中最后一段通过时间右尾的尖锐中等偏差界。
• 为增量平稳最后一段通过渗滤过程中的出口点建立新的上界。
• 在不使用粗粒化或可积概率方法的前提下，重新推导体积极限LPP过程中尖锐右尾中等偏差界。
• 量化LPP模型中Busemann函数和竞争界面极限的分布收敛速度。

提出的方法

• 利用增量平稳最后一段通过渗滤过程分析中等偏差。
• 采用Rains矩生成函数恒等式的概率证明，避免使用显式分布公式。
• 应用平面性与耦合论证，比较不同路径上的最后一段通过时间。
• 使用积分界和渐近分析控制尾部概率。
• 应用交叉（比较）引理，比较空间中最后一段通过时间增量的变化。
• 通过指数矩估计，在特征方向和非特征方向上分别推导出口点的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在增量平稳指数LPP模型中，最后一段通过时间的尖锐右尾中等偏差行为是什么？
• RQ2 如何在右尾中对增量平稳LPP过程中出口点进行定量上界估计？
• RQ3 LPP模型中向Busemann函数分布收敛的速度是多少？
• RQ4 LPP模型中向竞争界面分布收敛的速度是多少？
• RQ5 能否在不使用可积概率或粗粒化方法的前提下，重新推导体积极限LPP的尖锐右尾中等偏差界？

主要发现

• 为增量平稳LPP过程中的出口点建立了尖锐上界，与最近获得的下界一致。
• 推导出增量平稳LPP过程中右尾中等偏差率，并给出精确的指数衰减估计。
• 对向Busemann函数分布收敛的速度给出了上界，量化了测地线稳定化的速率。
• 对向竞争界面分布收敛的速度给出了上界，为界面粗化提供了定量估计。
• 给出了Rains矩生成函数恒等式的全新概率证明，避免使用显式路径积分公式。
• 通过平面性与矩生成函数技术，不依赖可积概率工具，重新推导出体积极限LPP的尖锐右尾中等偏差界。