[论文解读] Rigidity in higher representation theory

Sabin Cautis|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用 17

一句话总结

本文引入了$(\mathfrak{g},\theta)$作用作为范畴化$\mathfrak{g}$-作用的最小框架，证明此类作用通过同调计算自然地携带奎iver赫克代数（KLR代数）的作用。关键结果是一个刚性现象：在温和条件下，$\mathfrak{g}$-函子复合的自同态代数由李代数$\mathfrak{g}$决定，从而将卡普兰-劳达的范畴化推广至朴素的范畴化$\mathfrak{g}$-作用。

ABSTRACT

We describe a categorical g action, called a (g,theta) action, which is easier to check in practice. Most categorical g actions can be shown to be of this form. The main result is that a (g,theta) action carries actions of quiver Hecke algebras (KLR algebras). We discuss applications of this fact to categorical vertex operators, affine Grassmannians (or Nakajima quiver varieties) and to homological knot invariants.

研究动机与目标

• 建立一个最小的范畴化$\mathfrak{g}$-作用框架，使其在示例中比完整的卡普兰-劳达-鲁基耶2-表示更易于验证。
• 解决朴素范畴化$\mathfrak{g}$-作用在未假设分次幂或Serre关系时，其不预先携带奎iver赫克代数作用的问题，而后者对范畴化量子群至关重要。
• 证明在$(\mathfrak{g},\theta)$-作用结构下，$\mathfrak{g}$-函子复合的自同态代数由KLR代数控制，从而确立刚性。
• 通过识别KLR作用的充分条件，将卡普兰-劳达2-表示理论的适用范围扩展至更广泛的范畴化$\mathfrak{g}$-作用类。

提出的方法

• 引入$(\mathfrak{g},\theta)$作用的概念，作为带有附加数据$\theta$的最小范畴化$\mathfrak{g}$-作用，以控制同调约束。
• 通过范畴化$\mathfrak{g}$-作用公理中的伴随关系和同构，执行一系列$\operatorname{Hom}$-空间计算，以约束自然变换。
• 通过在$\mathfrak{g}$-函子复合之间的$\operatorname{Hom}$-空间中进行维数计数和非零性论证，构造$T_{ij}$、$X_i$和$T_{ijk}$映射。
• 通过同调计算验证所需关系（如$T_{iji} = T_{jij}$、$T_{ijk} = T_{jik}$）来建立仿射分次赫尔曼代数的作用。
• 使用瞬态映射处理可忽略的2-自同态，当$\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n$时，模去瞬态映射的条件可省略。
• 应用[CLa]中的结果，推导出$(\mathfrak{g},\theta)$作用在模去瞬态映射后诱导出卡普兰-劳达意义上的2-表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 在未假设分次幂或Serre关系的前提下，朴素的范畴化$\mathfrak{g}$-作用是否仍能携带奎iver赫克代数（KLR代数）的作用？
• RQ2 需要何种最小附加结构（$\theta$）以确保$\mathfrak{g}$-函子复合的自同态代数由KLR代数控制？
• RQ3 在多大程度上，$\mathfrak{g}$-函子复合之间自然变换的结构仅由李代数$\mathfrak{g}$本身刚性决定？
• RQ4 在构造KLR代数作用时，何时可以安全地忽略瞬态（可忽略）2-自同态？
• RQ5 该刚性结果是否可推广至所有Kac-Moody代数，还是在$\mathfrak{sl}_n$之外存在障碍？

主要发现

• 根据定理2.2，$(\mathfrak{g},\theta)$作用模去瞬态映射后携带奎iver赫克代数的作用。
• $\operatorname{End}({\sf{E}}_i{\sf{E}}_i)$的自同态代数受$\mathfrak{g}$-作用数据的约束，从而可构造出$X_i$和$T_{ii}$映射。
• $\operatorname{Hom}({\sf{E}}_i{\sf{E}}_j{\sf{E}}_k{\mathbf{1}}_\lambda, {\sf{E}}_k{\sf{E}}_j{\sf{E}}_i{\mathbf{1}}_\lambda\langle 3\rangle)$的维数至多为1，且当且仅当某些权投影${\mathbf{1}}_\mu$非零时取等。
• 当$i,j,k$互不相同时，$\dim \operatorname{Hom}({\sf{F}}_k{\sf{E}}_i{\sf{E}}_j{\mathbf{1}}_\lambda, {\sf{E}}_j{\sf{E}}_i{\sf{F}}_k{\mathbf{1}}_\lambda\langle -\langle i,j\rangle \rangle) = 1$当且仅当所有相关权投影均非零。
• 当$\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n$时，可省略瞬态映射条件，且无需商去即可保持KLR代数作用。
• 该结果意味着$(\mathfrak{g},\theta)$作用在模去瞬态映射后诱导出卡普兰-劳达意义上的2-表示。