[论文解读] Vertex operators and 2-representations of quantum affine algebras

Sabin Cautis, Anthony Licata|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用 24

一句话总结

本文通过在量子 Heisenberg 代数的 2-表示中 categorify 顶点算子，构造了量子仿射代数的 2-表示——即某些复形，其在 Grothendieck 群中恢复标准顶点算子。关键贡献是对单连通量子仿射代数基本表示的 Frenkel-Kac-Segal 同构实现的 categorification，从而在 ALE 空间上的 Hilbert 模型的导出范畴上实现量子仿射代数与量子托里idal 代数的 categorified 作用。

ABSTRACT

We construct 2-representations of quantum affine algebras from 2-representations of quantum Heisenberg algebras. The main tool in this construction are categorical vertex operators, which are certain complexes in a Heisenberg 2-representation that recover vertex operators after passing to the Grothendieck group. As an application we categorify the Frenkel-Kac-Segal homogeneous realization of the basic representation of (simply laced) quantum affine algebras. This gives rise to categorical actions of quantum affine (and toroidal) algebras on derived categories of coherent sheaves on Hilbert schemes of points of ALE spaces.

研究动机与目标

• 对单连通量子仿射代数基本表示的 Frenkel-Kac-Segal 同构实现进行 categorification。
• 在量子 Heisenberg 代数的 2-表示中构造 categorified 顶点算子，即诱导 Grothendieck 群中标准顶点算子的复形。
• 将量子 Heisenberg 代数的 2-表示扩展为量子仿射代数与托里idal 代数的 2-表示，作用于凝聚层的导出范畴。
• 通过导出等价性，建立量子群 categorification 与 Nakajima-Grojnowski quiver 变体之间的几何联系。
• 为未来对完整顶点算子代数（包括 Virasoro 生成元）的 categorification 提供框架。

提出的方法

• categorified 顶点算子被定义为量子 Heisenberg 代数 2-表示中特定的复形，由与 Heisenberg 生成元相关的函子构建而成。
• 这些复形被证明满足关系，其在 Grothendieck 群中提升为量子仿射代数生成元的对易关系。
• 该构造使用量子仿射代数的环（Drinfeld）表示，与共形场论和低维拓扑相容。
• categorified 作用被实现在 A, D, E 型 ALE 空间上点的 Hilbert 模型的 $\mathbb{C}^\times$-等变凝聚层的导出范畴上。
• 该方法依赖于将 Nakajima-Grojnowski 在上同调上的 Heisenberg 作用通过导出范畴提升为 2-表示。
• 该框架允许扩展至量子托里idal 代数，其在 $\mathbb{C}^\times$-等变 K-理论上的模空间上具有猜想中的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对 Frenkel-Kac-Segal 构造中的顶点算子进行 categorification，以得到量子仿射代数的 2-表示？
• RQ2 在量子 Heisenberg 代数的 2-表示中，categorified 顶点算子具有何种结构？
• RQ3 能否将量子 Heisenberg 代数的 2-表示扩展为完整量子仿射代数的 2-表示？
• RQ4 在 ALE 空间的 Hilbert 模型中，categorified Kac-Moody 生成元 $\mathsf{E}_i$ 和 $\mathsf{F}_i$ 的几何解释是什么？
• RQ5 是否存在 $({\mathbb{C}^2}^{[n]})^\Gamma$ 与 $\widehat{\mathbb{C}^2/\Gamma}^{[k]}$ 之间的导出等价性，从而暗示 2-表示的等价性？

主要发现

• 本文在量子 Heisenberg 代数的 2-表示中构造了作为复形的 categorified 顶点算子，其在 Grothendieck 群中诱导出标准顶点算子。
• 该构造在 A, D, E 型 ALE 空间上点的 Hilbert 模型的 $\mathbb{C}^\times$-等变凝聚层的导出范畴上，实现了量子仿射代数的 2-表示。
• categorified 作用被扩展至量子托里idal 代数，恢复了在 $\mathbb{C}^\times$-等变 K-理论上的模空间上秩一层的猜想作用。
• $\mathsf{E}_i$ 和 $\mathsf{F}_i$ 的 Kac-Moody 生成元在 $({\mathbb{C}^2}^{[n]})^\Gamma$ categorification 中被显式描述，而 $\mathsf{P}_i, \mathsf{Q}_i$ 的 Heisenberg 生成元在 $\widehat{\mathbb{C}^2/\Gamma}^{[k]}$ 模型中具有更清晰的几何意义。
• 通过 $({\mathbb{C}^2}^{[n]})^\Gamma$ 和 $\widehat{\mathbb{C}^2/\Gamma}^{[k]}$ 的两种 categorification 是导出等价的，暗示了 2-表示之间存在更深层次的等价性。
• 猜想 11.9 提出 cyclotomic KLR 代数 $R^\Lambda_{Q,\lambda}$ 与代数 $B'_\Gamma(n)$ 之间存在 Morita 等价，从而将代数与几何 categorification 联系起来。