[论文解读] Rigidity of manifolds with boundary under a lower Bakry-E'mery Ricci curvature bound

Yohei Sakurai|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 34被引用 3

一句话总结

本文在下界 Bakry-Émery Ricci 曲率与下界 $f$-平均曲率的条件下，建立了带边界的黎曼流形的刚性定理。通过加权比较几何与谱分析，证明了内接半径上界不超过某一模型空间的半径，且等式成立当且仅当流形同构于该模型空间。此外，本文还推导出加权 $p$-拉普拉斯算子第一特征值的精确下界，将经典结果推广至带边界的加权情形。

ABSTRACT

We study Riemannian manifolds with boundary under a lower Bakry-E'mery Ricci curvature bound. In our weighted setting, we prove several rigidity theorems for such manifolds with boundary. We conclude a rigidity theorem for the inscribed radii, a volume growth rigidity theorem for the metric neighborhoods of the boundaries, and various splitting theorems. We also obtain rigidity results for the smallest Dirichlet eigenvalues for the weighted p-Laplacians.

研究动机与目标

• 将带边界的流形的经典刚性结果推广至 Bakry-Émery Ricci 曲率有界下的加权情形。
• 在曲率与 $f$-平均曲率条件下，建立带边界流形内接半径的精确上界。
• 推导此类流形上加权 $p$-拉普拉斯算子的体积增长与谱刚性结果。
• 将 Heintze-Karcher 与 Kasue 型刚性定理推广至光滑权函数 $f$ 的加权情形。
• 刻画内接半径与特征值估计中等式成立的情形，证明此时流形同构于模型空间。

提出的方法

• 定义完备带边界的黎曼流形上的 Bakry-Émery Ricci 曲率 $\operatorname{Ric}^N_f \geq (N-1)\kappa$ 与 $f$-平均曲率 $H_{f,\partial M} \geq (N-1)\lambda$。
• 引入模型空间 $B^n_{\kappa,\lambda}$，即空间形式 $M^n_\kappa$ 中具有常数 $f$-平均曲率 $(n-1)\lambda$ 的测地球，并定义其半径 $C_{\kappa,\lambda}$。
• 利用 Jacobi 方程 $\phi''(t) + \kappa\phi(t) = 0$ 及初值条件 $\phi(0) = 1$，$\phi'(0) = -\lambda$ 定义 $s_{\kappa,\lambda}(t)$，其首个正零点即为 $C_{\kappa,\lambda}$。
• 通过加权测度 $m_f = e^{-f} \operatorname{vol}_g$ 建立比较定理，分析加权距离函数 $\rho_{\partial M}(p) = d_M(p, \partial M)$。
• 推导等周型不等式：对满足 $\partial\Omega \cap \partial M = \emptyset$ 的区域 $\Omega$，有 $m_f(\Omega) \leq m_{f,\partial\Omega}(\partial\Omega) \cdot C(N,\kappa,\lambda,D)$。
• 对 Rayleigh 商应用加权 Poincaré 不等式与 Hölder 不等式，获得加权 $p$-拉普拉斯算子第一特征值 $\mu_{f,1,p}(M)$ 的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在下界 Bakry-Émery Ricci 曲率与 $f$-平均曲率条件下，内接半径 $D(M, \partial M)$ 的精确上界是什么？
• RQ2 在何种条件下，内接半径上界中的等式成立意味着流形同构于一模型测地球？
• RQ3 在曲率与边界条件下，加权 $p$-拉普拉斯算子第一特征值的精确下界是什么？
• RQ4 在这些曲率有界条件下，边界邻域的体积增长行为如何？
• RQ5 当 $N=\infty$ 时，若 Bakry-Émery Ricci 曲率非负且 $f$-平均曲率有界，存在何种谱刚性结果？

主要发现

• 内接半径满足 $D(M, \partial M) \leq C_{\kappa,\lambda}$，其中 $C_{\kappa,\lambda}$ 是空间形式 $M^n_\kappa$ 中具有常数 $f$-平均曲率 $(n-1)\lambda$ 的测地球的半径。
• 内接半径上界中等式成立当且仅当 $(M,d_M)$ 同构于 $B^n_{\kappa,\lambda}$ 且 $N=n$，同时 $f$ 在 $M$ 上为常数。
• 当 $N \in [n,\infty)$ 时，加权 $p$-拉普拉斯算子的第一特征值满足 $\mu_{f,1,p}(M) \geq (p \cdot C(N,\kappa,\lambda,D))^{-p}$，其中 $D = D(M, \partial M)$。
• 在 $N=\infty$ 情形下，$\mu_{f,1,p}(M) \geq (pD)^{-p}$，且等式成立当且仅当 $D=\infty$，$\partial M$ 紧致，且 $M$ 同构于 $[0,\infty) \times_{\kappa,\lambda} \partial M$。
• 当 $\kappa < 0$ 且 $\lambda = \sqrt{|\kappa|}$ 时，常数 $C(N,\kappa,\lambda,D)$ 简化为 $\left((N-1)\lambda\right)^{-1} \left(1 - e^{-(N-1)\lambda D}\right)$，当 $D \to \infty$ 时单调递增趋于 $((N-1)\lambda)^{-1}$。
• 特征值估计中等式成立意味着沿测地射线有 $f \circ \gamma_x(t) = f(x) + (N-n)\lambda t$，从而确认了模型空间的结构。