[论文解读] Rigidity phenomena in manifolds with boundary under a lower weighted Ricci curvature bound

Yohei Sakurai|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文在 $N \leq 1$ 的情形下，建立了具有边界的黎曼流形在 $N$-加权 Ricci 曲率下界条件下的刚性定理，推广了此前在互补加权情形下的结果。通过发展到边界的距离函数的 Laplacian 比较定理与体积比较定理，作者证明了体积增长刚性定理、分裂定理，以及加权 $p$-Laplacian 的第一 Dirichlet 特征值的精确下界，且等式成立的情形刻画了模型空间。

ABSTRACT

We study Riemannian manifolds with boundary under a lower $N$-weighted Ricci curvature bound for $N$ at most $1$, and under a lower weighted mean curvature bound for the boundary. We examine rigidity phenomena in such manifolds with boundary. We conclude a volume growth rigidity theorem for the metric neighborhoods of the boundaries, and various splitting theorems. We also obtain rigidity theorems for the smallest Dirichlet eigenvalues for the weighted $p$-Laplacians.

研究动机与目标

• 将具有边界的黎曼流形中的刚性现象推广到互补加权情形，即 $N \leq 1$ 的情形，超越标准的 $N \geq n$ 设置。
• 在 $N$-加权 Ricci 曲率与加权平均曲率下界条件下，建立边界度量邻域的体积增长刚性。
• 在新设置下推导加权 $p$-Laplacian 的第一 Dirichlet 特征值的精确下界，推广已知的 $N \geq n$ 情形下的结果。
• 刻画比较定理中等式成立的情形，表明等式成立意味着等距分裂或模型空间结构。

提出的方法

• 利用加权 Ricci 曲率下界与边界平均曲率估计，发展到边界的距离函数 $\rho_{\partial M}$ 的 Laplacian 比较定理。
• 通过 $\rho_{\partial M}$ 的次调和性与 $N$-加权 Ricci 曲率条件，证明度量邻域 $B_r(\partial M)$ 的体积比较定理。
• 引入函数 $F_x(t) = \exp\left(\frac{f(\gamma_x(t)) - f(x)}{n-1}\right)$ 以控制法测地线方向上的体积畸变。
• 利用 $\kappa$ 与 $\lambda$ 的次调和性条件，确保比较估计与等式情形分析的有效性。
• 应用结果推导加权 $p$-Laplacian 的特征值估计，结合体积比较与度量直径界。
• 分析比较定理中的等式情形，以证明分裂定理并刻画模型空间，包括 $F$-模型空间与赤道模型空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $N \leq 1$ 加权 Ricci 曲率下界条件下，具有边界的流形在何种条件下对边界的度量邻域表现出体积增长刚性？
• RQ2 在 $N \leq 1$ 的互补加权情形下，能否建立加权 $p$-Laplacian 的第一 Dirichlet 特征值的精确下界？
• RQ3 当体积比较或特征值估计中的等式成立时，会涌现出何种几何结构？
• RQ4 $N$-加权 Ricci 曲率与 $f$-平均曲率下界如何约束流形的拓扑与等距类型？
• RQ5 Cheeger-Gromoll 型分裂定理在 $N \in (1,n)$ 情形下能多大程度上被推广？$N \leq 1$ 情形与此有何关联？

主要发现

• 建立了体积增长刚性定理：若 $\operatorname{Ric}^N_{f,M} \geq \kappa$ 且 $H_{f,\partial M} \geq \lambda$ 对于 $N \leq 1$，则 $B_r(\partial M)$ 的体积至少以模型空间的体积增长，且等式成立意味着等距分裂。
• 加权 $p$-Laplacian 的第一 Dirichlet 特征值 $\mu_{f,1,p}(M)$ 满足 $\mu_{f,1,p}(M) \geq (pD)^{-p}$，当 $D(M,\partial M) \leq D$ 时，等式成立当且仅当 $D(M,\partial M) = D$ 且 $(M,d_M)$ 是一个 $F$-模型空间。
• 当 $N < 1$ 时，特征值估计中的等式成立意味着对所有 $x \in \partial M$，$f \circ \gamma_x$ 在 $[0,D]$ 上为常数，即流形为赤道模型空间。
• 体积比较中等式成立意味着度量空间 $(M,d_M)$ 等距同构于一个 $F$-模型空间，且 $\mathrm{Cut}\,\partial M = S_D(\partial M)$，即切点集与距离球 $D$ 重合。
• 结果将先前在 $N \geq n$ 情形下的刚性定理推广到互补的 $N \leq 1$ 情形，为 Wylie 的分裂定理提供了自然推广至 $N \in (-\infty,1]$ 的情形。
• 命题 6.7 在相同曲率条件下建立了体积估计 $m_f(\Omega) \leq m_{f,\partial\Omega}(\partial\Omega)(\delta_2(\Omega) - \delta_1(\Omega))$，推广了未加权与 $N \geq n$ 情形下的结果。