[论文解读] Rigidity results for complete manifolds with nonnegative scalar curvature

Jintian Zhu|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 8

一句话总结

本文通过引入一种新颖的方法，利用局部图收敛性和 $h$-极小边界，避免使用 Cheeger-Gromoll 拆分定理，建立了具有非负数量曲率的完备黎曼流形的刚性结果。证明了若一个 $n$-流形（$3 \leq n \leq 7$） admits 一个非零度的恰当映射到 $T^{n-1} \times \mathbb{R}$，则其必等距同构于平坦乘积 $T^{n-1} \times \mathbb{R}$，并推导出一个最优的 $2$-systole 不等式，等号成立当且仅当万有覆盖流形拆分为 $\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}^{n-2}$。

ABSTRACT

In this paper, we are going to show some rigidity results for complete open Riemannian manifolds with nonnegative scalar curvature. Without using the famous Cheeger-Gromoll splitting theorem we give a new proof to a rigidity result for complete manifolds with nonnegative scalar curvature admitting a proper smooth map to $T^{n-1} imes \mathbf R$ with nonzero degree. Here we introduce a trick to obtain the compactness of limit hypersurface from locally graphical convergence. Based on the same idea we also establish an optimal $2$-systole inequality for several classes of complete Riemannian manifolds with positive scalar curvature and further prove a rigidity result for the equality case.

研究动机与目标

• 为具有非负数量曲率且 admits 一个非零度恰当映射到 $T^{n-1} \times \mathbb{R}$ 的完备非紧流形提供一个不依赖于 Cheeger-Gromoll 拆分定理的刚性结果的新证明。
• 在拓扑约束下，为维度 $3 \leq n \leq 7$ 的具有正数量曲率的完备流形建立最优的 $2$-systole 不等式。
• 刻画 $2$-systole 不等式的等号成立情形，表明等号成立当且仅当万有覆盖流形等距拆分为 $\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}^{n-2}$。

提出的方法

• 通过精心选择的函数 $h$ 构造固定同调类中的 $h$-极小边界，确保所有边界与一个固定紧集相交。
• 利用超曲面的局部图收敛性控制无穷远处的拓扑结构，实现具有重数一的光滑收敛。
• 应用 Calabi-Yau 体积增长估计，由里奇平坦性推导出有限体积和极限超曲面的紧致性。
• 利用稳定性估计和雅可比算子，为关联的乘积流形 $\bar{\Sigma}_k = \hat{\Sigma}_k \times \mathbb{S}^1$ 推导出数量曲率的下界。
• 在 $\mathbf{S}^1$-对称性下使用变分法论证，表明极限超曲面上的共形因子 $\hat{u}$ 是调和的，因而为常数。
• 利用叶状结构和面积极小化论证，得出在等号成立情形下，万有覆盖流形实现等距拆分。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖 Cheeger-Gromoll 拆分定理的前提下，证明具有非负数量曲率且存在非零度映射到 $T^{n-1} \times \mathbb{R}$ 的完备流形的刚性？
• RQ2 在维度 $3 \leq n \leq 7$ 的完备 $n$-流形中，若具有正数量曲率且存在非零度映射到 $\mathbf{S}^2 \times T^{n-2}$，其球面 $2$-systole 的最优上界是什么？
• RQ3 在何种几何与拓扑条件下，$2$-systole 不等式的等号成立意味着万有覆盖流形拆分为 $\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}^{n-2}$ 的乘积形式？
• RQ4 在非负数量曲率的非紧流形中，若缺乏全局紧致性，如何实现极限超曲面的紧致性？
• RQ5 $h$-极小边界构造在几何极小化过程中如何克服无穷远处的质量损失？

主要发现

• 对于 $3 \leq n \leq 7$，任何具有非负数量曲率的完备定向 $n$-流形，若 admits 一个非零度的恰当光滑映射到 $T^{n-1} \times \mathbb{R}$，则其必等距同构于 $T^{n-1} \times \mathbb{R}$，且该证明不依赖于 Cheeger-Gromoll 定理。
• 存在一个最优的 $2$-systole 不等式：对于维度 $3 \leq n \leq 7$ 的完备 $n$-流形，若具有正数量曲率且存在非零度映射到 $\mathbf{S}^2 \times T^{n-2}$，则有 $\inf R(g) \cdot \operatorname{sys}_2(M,g) \leq 8\pi$。
• 当 $\inf R(g) = 2$ 且 $\operatorname{sys}_2(M,g) = 4\pi$ 时，$2$-systole 不等式等号成立当且仅当流形 $M$ 的万有覆盖流形等距拆分为 $\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}^{n-2}$。
• 由 $h$-极小边界序列导出的极限超曲面由于有限体积和里奇平坦性而紧致，这得益于 Calabi-Yau 体积增长估计。
• 极限超曲面是 $M$ 中的面积极小边界，其具有重数一的光滑收敛确保了拓扑控制，从而允许基于叶状结构的刚性结论。
• 极限超曲面上的共形因子是调和且正定的，因此为常数，这意味着极限超曲面具有非负里奇曲率且为紧致。