[论文解读] Riordan arrays, orthogonal polynomials as moments, and Hankel transforms

Paul Barry|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用 13

一句话总结

本文通过展示勒让德多项式与埃尔米特多项式可借助参数化黎曼德阵列表示为其他正交多项式的矩序列，建立了黎曼德阵列、正交多项式与海克尔变换之间的联系。关键贡献在于提出一种方法，利用这些阵列的生成矩阵的三对角结构来计算其海克尔变换。

ABSTRACT

Taking the examples of Legendre and Hermite orthogonal polynomials, we show how to interpret the fact that these orthogonal polynomials are moments of other orthogonal polynomials in terms of their associated Riordan arrays. We use these means to calculate the Hankel transforms of the associated polynomial sequences.

研究动机与目标

• 将伊smith与斯坦顿关于正交多项式的成果，基于黎曼德阵列理论重新解释为矩序列。
• 证明黎曼德阵列生成一族正交多项式，当且仅当其生成矩阵为三对角矩阵。
• 证明此类正交多项式的矩序列恰好出现在黎曼德阵列的第一列中。
• 利用黎曼德阵列表示法，计算勒让德与埃尔米特多项式序列的海克尔变换。
• 提供一个统一框架，通过黎曼德阵列将母函数、矩序列与海克尔变换联系起来。

提出的方法

• 使用黎曼德阵列 (g, f)，其中 g(x) 为矩序列的母函数，将正交多项式表示为矩序列。
• 利用黎曼德阵列 (g, f) 的逆阵列 (g, f)−1 的生成矩阵，生成相应的正交多项式。
• 建立黎曼德阵列的生成矩阵为三对角矩阵的充要条件，即其生成一族正交多项式。
• 应用史蒂尔杰斯变换与母函数技术，将矩序列与测度及其密度联系起来。
• 利用母函数的连分数展开推导海克尔变换公式。
• 利用已知的关于具有连分数母函数的序列的海克尔变换结果（例如公式16），计算精确表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过黎曼德阵列将勒让德与埃尔米特多项式解释为其他正交多项式的矩序列？
• RQ2 何种条件可确保黎曼德阵列生成一族正交多项式？
• RQ3 序列的海克尔变换与其关联黎曼德阵列的结构有何关系？
• RQ4 能否利用矩序列的母函数通过史蒂尔杰斯变换恢复测度？
• RQ5 勒让德与埃尔米特多项式序列在参数 r 处的海克尔变换的显式形式为何？

主要发现

• 勒让德多项式 $ He_n(r) $ 是一族正交多项式的矩序列，其系数阵列为黎曼德阵列 $ \big(e^{-rx + x^2/2}, x\big) $，其生成矩阵为三对角矩阵。
• 序列 $ He_n(r) $ 的海克尔变换为 $ (-1)^{\binom{n+1}{2}} \big( \textstyle\bigcup_{k=0}^{n} k! \big) $，该结果由矩序列的连分数母函数推导得出。
• 埃尔米特多项式 $ H_n(r) $ 是一族正交多项式的矩序列，其系数阵列为 $ \big(e^{2rx - x^2}, x\big) $，其生成矩阵为三对角矩阵。
• 序列 $ H_n(r) $ 的海克尔变换为 $ (-1)^{\binom{n+1}{2}} \big( \textstyle\bigcup_{k=0}^{n} 2^k k! \big) $，通过母函数的连分数展开获得。
• 黎曼德阵列 $ (g,f) $ 的生成矩阵为三对角矩阵，当且仅当 $ (g,f)^{-1} $ 生成一族正交多项式。
• 黎曼德阵列 $ (g,f) $ 的第一列的母函数 $ g(x) $ 对应该族正交多项式的矩母函数。