[论文解读] Risk-sensitive Nonzero-sum Stochastic Differential Game with Unbounded Coefficients

Saïd Hamadène, Rui Mu|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通過使用多維倒向隨機微分方程（BSDEs），在漂移係數無界的情況下，證明了風險敏感型非零和隨機微分博弈中納什均衡的存在性。該研究放寬了先前工作對漂移係數有界性的假設，改為線性增長條件，並利用在驅動函數中包含二次與線性增長項的BSDE，於一般條件下證明均衡的存在性。

ABSTRACT

This article is related to risk-sensitive nonzero-sum stochastic differential games in the Markovian framework. This game takes into account the attitudes of the players toward risk and the utility is of exponential form. We show the existence of a Nash equilibrium point for the game when the drift is no longer bounded and only satisfies a linear growth condition. The main tool is the notion of backward stochastic differential equation, which in our case, is multidimensional with continuous generator involving both a quadratic term of Z and a stochastic linear growth component with respect to Z.

研究动机与目标

• 透過放寬對漂移係數的有界性限制，擴展現有的風險敏感型隨機微分博弈理論。
• 在以指數效用為基礎的支付函數下，建立非零和風險敏感型博弈中納什均衡存在的證明。
• 利用包含Z分量中二次項及Z中隨機線性增長的生成器的多維倒向隨機微分方程（BSDEs）來分析該博弈。
• 透過在BSDE框架內發展新的先驗估計與收斂性論證，處理漂移係數無界的情形。
• 推廣先前需假設係數有界的結果，特別是那些依賴於有界驅動函數之經典BSDE理論的研究。

提出的方法

• 在馬氏框架下建立風險敏感型隨機微分博弈模型，兩名參與者均使用指數效用函數。
• 透過具有無界漂移係數與擴散係數的隨機微分方程（SDE）來描述狀態動態。
• 使用一個生成器包含Z分量中二次項與Z中線性增長項的多維BSDE，其驅動來源為博弈的成本結構。
• 應用變換將原始BSDE轉化為具有嚴格正解的等價形式，從而可應用對數變換技術。
• 利用矩界與Gronwall型不等式，為變換後BSDE的解建立先驗估計。
• 透過控制收斂定理與緊緻性論證，證明逼近序列的收斂性，確保原始BSDE系統存在解。

实验结果

研究问题

• RQ1 當漂移係數無界時，風險敏感型非零和隨機微分博弈中是否可能存在納什均衡？
• RQ2 如何利用倒向隨機微分方程來表征具有指數效用與無界係數之博弈中的均衡？
• RQ3 漂移係數與擴散係數需滿足何種條件，才能確保具有二次與線性增長項的相關多維BSDE存在解？
• RQ4 是否可在不破壞風險敏感型博弈中納什均衡存在性的前提下，放寬對漂移係數有界性的假設？
• RQ5 處理漂移係數無界性時，需使用何種數學工具，同時保持風險敏感型成本函數的結構？

主要发现

• 本文證明了在漂移係數滿足線性增長條件的情況下，風險敏感型非零和隨機微分博弈中納什均衡點的存在性。
• 主要結果是透過一個生成器包含Z分量中二次項與Z中隨機線性增長項的多維BSDE所建立。
• 透過確保解為正的變換，再經對數變換，恢復原始值函數。
• 為解建立了先驗估計，顯示Z與Y分量的範數在適當的Lq與L2空間中為有界。
• 透過控制收斂定理與緊緻性論證，證明逼近序列的收斂性，確保極限BSDE存在解。
• 證明值函數可表示為次二次增長的確定性函數，確保其正則性與可積性。