[论文解读] Robust Decidability of Sampled-Data Control of Nonlinear Systems with Temporal Logic Specifications

Jun Liu|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2019

Advanced Control Systems Optimization参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文通过证明：若扰动系统存在鲁棒控制策略，则可通过鲁棒完备的有限抽象算法构造该策略，从而建立了非线性系统在时序逻辑规范下的采样数据控制的鲁棒可判定性。利用带有量化误差边界的验证前向欧拉方案，该方法通过标签函数强化确保了采样间行为的正确性，实现了在弱Lipschitz条件下连续时间系统的有限状态合成。

ABSTRACT

This paper explores the theoretical limits of using discrete abstractions for nonlinear control synthesis. More specifically, we consider the problem of deciding continuous-time control with temporal logic specifications. We prove that sampled-data control of nonlinear systems with temporal logic specifications is robustly decidable in the sense that, given a continuous-time nonlinear control system and a temporal logic formula, one can algorithmically decide whether there exists a robust sampled-data control strategy to realize this specification when the right-hand side of the system is slightly perturbed by a small disturbance. If the answer is positive, one can then construct a (potentially less) robust sampled-data control strategy that realizes the same specification. The result is proved by constructing a robustly complete abstraction of the original continuous-time control system using sufficiently small discretization parameters. We illustrate the result with a nonlinear control example.

研究动机与目标

• 确定是否存在一种计算程序，用于判断给定形式规范下非线性系统是否存在控制策略。
• 解决基于抽象的控制综合中缺乏完备性保证的问题，特别是针对连续时间非线性系统。
• 建立当鲁棒采样数据控制策略存在时，即使在小系统扰动下，也可算法化构造该策略。
• 在控制综合中考虑采样间行为，同时保持连续时间语义下的正确性。
• 为使用有限抽象实现可扩展、可靠且完备的控制器综合提供理论基础。

提出的方法

• 使用带有量化误差边界的验证前向欧拉数值方案，构建采样数据控制系统的鲁棒完备抽象。
• 采用时间离散化的转移系统，对控制空间进行下近似并上近似可达集，以确保正确性与完备性。
• 通过ε-强化（ε-strengthening）的标签函数处理采样间行为，确保在连续时间语义下的正确性。
• 采用反馈细化关系与模拟关系（如预近似与交替模拟）将抽象系统与原始系统关联。
• 利用向量场的局部Lipschitz连续性及系统动态边界的约束（L与M）推导离散化的误差边界。
• 通过采样周期τ与扰动水平δ₁ < δ₂的抽象层次结构，实现通过有限状态搜索的可判定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否算法化判定：对于连续时间非线性系统，是否存在满足给定时序逻辑规范的鲁棒采样数据控制策略？
• RQ2 在何种条件下，非线性采样数据系统的有限抽象可同时满足控制综合的正确性与完备性？
• RQ3 在基于抽象的控制综合中，如何形式化地处理采样间行为而不损失正确性？
• RQ4 是否可能构造一种在小系统扰动下仍保持有效的控制策略，以确保鲁棒性？
• RQ5 能否使用非线性系统的有限抽象，为任意时序逻辑规范保证控制综合的可判定性？

主要发现

• 建立了鲁棒可判定性：若在小扰动下系统存在鲁棒采样数据控制策略，则可算法化构造该策略。
• 通过基于Lipschitz连续性与系统动态边界推导的误差边界的验证前向欧拉方案，构建了采样数据系统的鲁棒完备抽象。
• 当τ = 0.2时，该方法实现了δ = 0.1与ε = 0.02的鲁棒抽象，使任意时序逻辑规范的可判定性成为可能。
• 通过将标签函数强化ε，形式化地处理了采样间行为，确保了在连续时间语义下的正确性。
• 有限转移系统的构造使得即使对于复杂的非线性系统，也可通过有限状态搜索实现算法化控制器综合。
• 该结果扩展了先前工作，证明了连续时间系统的鲁棒完备性，填补了早期关于离散时间系统研究中留下的空白。