[论文解读] Robust Invariant Sets Computation for Switched Discrete-Time Polynomial Systems

Xue Bai, Naijun Zhan|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2018

Formal Methods in Verification参考文献 45被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种新颖的方法，用于在存在扰动的情况下计算离散时间切换多项式系统的鲁棒不变集，通过将最大鲁棒不变集表征为贝尔曼型方程的唯一有界解的零水平集。该方法利用值迭代实现收敛性，并结合半定规划（SDP）提升可扩展性，从而能够对高维系统实现准确且高效的不变集估计，并保证对扰动的鲁棒性。

ABSTRACT

In this paper we study the robust invariant sets generation problem for discrete-time switched polynomial systems subject to disturbance inputs within the optimal control framework. A robust invariant set of interest is a set of states such that every possible trajectory starting from it never leaves a specified safe set, regardless of actual disturbances. The maximal robust invariant set is shown to be the zero level set of the unique bounded solution to a Bellman type equation, which is a functional equation being widely used in discrete-time optimal control. This is the main contribution of this work. The uniqueness of bounded solutions enables us to solve the derived Bellman type equation using numerical methods such as the value iteration, which provides an approximation of the maximal robust invariant set. In order to increase the scalability of the Bellman equation based method, a semi-definite program, which is constructed based on the derived Bellman type equation, is also implemented to synthesize robust invariant sets. Finally, three examples demonstrate the performance of our methods.

研究动机与目标

• 解决现有基于最优控制的方法在计算存在扰动的离散时间切换非线性系统中鲁棒不变集方面的不足。
• 在离散时间系统中，建立最大鲁棒不变集与贝尔曼型方程有界解之间的理论联系。
• 开发可扩展的计算方法——值迭代与半定规划（SDP）——以逼近最大鲁棒不变集。
• 通过三个基准案例（包括高维情形）验证所提方法的有效性与优越性。
• 实现对建模为离散时间切换多项式系统的数字控制系统的安全性与稳定性验证。

提出的方法

• 构造一个以折扣因子 ∈ (0,1) 为参数的有界值函数，使其零下水平集等于最大鲁棒不变集。
• 推导出一个贝尔曼型函数方程，其唯一有界解可表征最大鲁棒不变集。
• 应用值迭代方法数值求解贝尔曼方程，适用于中等状态维数的系统，从而获得不变集的近似解。
• 当折扣因子等于1时，将贝尔曼方程松弛为一组不等式，以支持半定规划（SDP）形式化。
• 构建基于SDP的方法以合成鲁棒不变集，提升高维系统的可扩展性。
• 通过数值仿真验证并比较计算所得不变集与粗略近似之间的精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在扰动的离散时间切换多项式系统中，最大鲁棒不变集是否可表征为贝尔曼型方程有界解的零水平集？
• RQ2 当折扣因子严格小于1时，贝尔曼型方程是否具有唯一有界解，从而支持可靠的数值计算？
• RQ3 值迭代方法如何应用于此类系统中最大鲁棒不变集的近似计算？
• RQ4 当值迭代因内存限制而失效时，基于SDP的方法在计算鲁棒不变集方面的性能如何？
• RQ5 与现有方法（如文献[41]中的方法）相比，所提出的基于SDP的方法在保守性与精度方面表现如何？

主要发现

• 最大鲁棒不变集被精确表征为贝尔曼型方程唯一有界解的零水平集，建立了基础性的理论结果。
• 值迭代在低维系统（示例1和2）中成功计算出最大鲁棒不变集的近似解，但在高维示例3中因内存溢出而失败。
• 在算法20中的基于SDP的方法（公式20）在值迭代失效的情况下，仍能成功计算出示例3的鲁棒不变集，证明了其优越的可扩展性。
• 在示例1中，基于SDP的方法结果与文献[41]中的方法几乎无法区分，表明其精度相当。
• 在示例2中，所提出的SDP方法在 $d_u = 8$ 和 $d_u = 12$ 时均产生比文献[41]方法更不保守的不变集，表明性能更优。
• 在示例3中，尽管因视觉相似性难以直接比较，但SDP方法在值迭代失效时仍保持有效，证实了其实际应用价值。